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Ἐπεὶ γαρ εὐθεῖα ἥ ΔΑΕ ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΤΓΔ εφῦοʼτῃγέ, γωνιοις σγοιοῦσα ’τοις υπὸ ΓΕΑ ΑἘΕΔ" αἱ αρα ὑπὸ ΤΈΑ 9 ΑΕΔ ʼγωνιοω δυσὶν ὀρθαῖς 1 ἴσαι εἰσί. Πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἣ ΔῈ ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε. ’γωνιας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑἘΔ. ΔΕΒ" αἱ ο’ι’ροι ὑπὸ ΔΕΔ. ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὗρθαΐς ἴσαι εἰσίν. Ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΤΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ. ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΔΕΔ. ΔΕΒ ἴσαι εἰσί. Κοινὴ ἀφηρήσθω ἣ ὑπὸ ΑΕΔ. λοιπὴ αροι ἡ ὑπὸ ΤΈΑ λοιπῃ τςι ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν. Ομοίως δὴ δειχθήσεται. ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΤῈΒ. ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν. Ἐὰν ἄρα δύο, καὶ τὰ εξῆς |
Quoniam enim recta AE in rectam LʼA in- sistit angulos faciens TEA, AEA ; ipsi TEA, AEA anguli duobus rectis equales sunt. Rursus, quoniam recta : AE in rectam AB insistit, angulos faciens AEA, AEB ; ipsi AEA, AEB anguli duobus rectis zquales sunt, Ostensi sunt aulem et lʼEA, AEA duobus rectis zquales ; ergo TEA, AEA ipsis AEA, AEB cquales sunt. Communis auferatur AEA, reliquus igitur TEA reliquo BEA zqualis est. Similiter autem os- tendemus e TEB, AEA esse equales. $i igitur, duo, etc. |
| ΠΡΟΤΆΣΙΣ ις. | PROPOSITIO XVI. |
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Παντὸς τριγῶνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκθλη- θεἰσης ᾽9 ἢ ἐκτὸς γωνία ἐκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν " μείζων ἐστίν. |
Omnis trianguli uno laterum producto, exte- rior angulus utroque interiorum et oppositorum angulorum major est. |
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Ἐστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ προσεπξεξλήσθω αὐτοῦ μία -ʼπλευροἰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δʼ λέγω ὁτι |
Sit triangulum ABD, et producatur ipsius unum latus Blʼ ad A5 ; dico exteriorem angulum |
Car puisque la droite AE est placée sur la droite TA, faisant les angles TEA, AEA, les angles TEA, AEA sont égaux à deux droits. De plus puisque a droite AE est placée sur la droite AB, faisant les angles AEA, AEB, les angles AFA, AEB sont égaux à deux droits. Mais on a démontré que les angles TEA, AEA sont égaux à deux droits ; donc les angles TEA, AEA sont égaux aux angles AEA, AEB. Retranchons l’angle commun AEA ; lʼangle restant TEA sera égal à l’angle restant BEA. On démontrera semblablement que les angles TEB, AFA Sont égaux. Donc, etc.
Ayant prolongé un côté d’un triangle quelconque, l’angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.
Soit le triangle ABr, prolongeons le côte Br vers A ; je dis que langle
