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ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΙ᾿ καὶ ἐπεὶ ’τρι’γα.νον ἐστι τὸ ΔΙΒ. μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΙ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ʼ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστὶ μείζων, Ἰση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΤ ᾽ μει’ζονες ο’ι’ροι αἱ ΒΑ. ΑΓ τῆς ΒΓ, Ομοίως δὴ δείξομεν ὁτι καὶ αἷ μὲν ΑΒ. ΒΓ τῆς ΤΑ μείζονές εἰσιν" αἱ δὲ ΒΓ. ΤΑ τῆς ΑΒ, ΠὩὰντὸς ἀρα, καὶ τὰ εξπς. |
ulique est BTA ipso AAT ; etquoniam triangulum est ATB, majorem habens BTʼA angulumipso BAT, majorem autem angulum majus latus subtendit ; AB igitur 1psá BTʼ est major ; æqualis autem AA ipsi AT ; majores igitur BA, AT ipsá BT. Similiter autem ostendemus et ipsas quidem ABʼ, BIʼ ipsá TA majores esse ; 1psas vero BT, lA ipsá AB. Omnis igitur, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ καʹ. | PROPOSITIO XXI. |
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Ἐὰν τρέγωνου ἐπὶ μιας τῶν πλεύρων ἀπὸ τῶν περάτων δὺο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συστα- θεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάσ- σονες μὲν ἐσονται. μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσι. |
Si trianguli super uno laterum a terminis duze recte intus constituantur, constructe reliquis trianguli duobus lateribus minores quidem erunt, majorem vero angulum continebunt. |
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Ἰρέγωνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιας τῶν σλευρὼν τῆς ΒΓ. ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β. Τ΄ δῦύο εὐθεῖαι εντος συνεστατωσαν αἱ ΒΔΑ. ΔΙ λέγω ὁτ α ! ΒΔ. ΔΙ᾽ πλευραι ʼ τῶν λοιπὼν τοῦ τριγώνου δύο πλευ- ρβῶν τῶν ΒΑ. ΑΤ ἐλάσσονες μέν εἶσι. μείζονα δὰὲ γώνιᾶν περιέχουσι. τὴν νπὸ ΒΔΙ τῆς υπὸ ΒΑΙ. |
Trianguli enim ABT super uno laterum BT, a terminis B, Y, dus recte intus constituantur BA, AT ; dico BA, AT latera reliquis trianguli duobus lateribus BA, AT minora quidem esse, majorem vero angulum continere, ipsum BAT ipso BAT, |
est plus grand que l’angle AaT (not. 9) ; donc, puisque dans le triangle ATB, lʼangle BTA est plus grand que l’angle Bar, et qu’un plus grand côté soutend un plus grand angle (19) , le côté 48 est plus grand que le côté Br ; mais AA est égal à Ar ; donc les côtés BA, Ar sont plus grands que Br. Nous démontrerons semblablement que les côtés AB, Br sont plus grands que TA, et les côtés Br, TA plus grands que AB. Donc, etc.
Si des extrémités d’un des côtés d’un triangle, on construit intérieurement deux droites, ces deux droites seront plus petites que les deux côtés restans du triangle | mais elles comprendront un plus grand angle.
Des extrémités B, Γ du côté BΓ du triangle ABΓ, construisons intérieurement les deux droites BA, δΔΓ ; Je dis que les droites BA, AT sont plus petites que les deux côtés restants BA, AT, et quʼelles comprennent un angle Bar plus grand que l’angle BAΓ.
