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Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ἘΗ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ᾿ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ἘΗΠΒ τῖῆς ὑπὸ ΑΗΘ ἐστὶν ἴση. καὶ ἢ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἴση" καί εἶσιν ἐναλλάξʼ παράλληλος ἄρα ἐστὶν. ΑΒ τῇ ΓΔ. |
Quonam enim æqualis est EHB ipsi HOA, sed EHB ipsi AHO cst æqualis, et AHO igitur ipsi HOA est equalis ; et sunt alterni ; parallela igitur est AB ipsi TʼA. |
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Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ. ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἆ’ρα ὕπὸ ΑἨΘ. ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ. ΗΘΔ ἔσαι εἰσί, Κοινὴ ἀφηρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ. λο, πὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοισῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἰση" καὶ εἶσιν ἐναλλάξʼ παράλληλος ἂρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. Ἐὰν ἄρα εἰς δύο, καὶ τὰ ἐξῆς. |
Rursus, quoniam anguli BHO, HOA duobus rectis equales sunt, sunt autem anguliAHO, BHO duobus recüs xquales ; ergo AHO, BHO ipsis BHO, HOA m « quales sunt. Communis auferatur BHO ; reliquus igitur AHO reliquo HOA est equalis ; et sunt alterni ; parallela igitur est A2 ipsi PA. Si igitur in duas, etc. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κθʹ. | PROPOSITIO XXIX. |
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Ἡ εἰς τὰς ’παραλλυλους εὐθείας εὐθεῖα εμνπι- τουσὰα τὰας τε ενοιλλαξ γωνίας ἰσας σ“λληλαις σοιεῖ 9 καὶ τὴν εΞτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. και ἐπὶ τὰ αὐτῷὰ μερὴ 25 0 καὶ τὰας εντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ορθαὶς ἴσας. |
In parallelas rectas recta incidens, et alternos angulos æquales inter se facit, et exteriorem inte- riori et opposito et ad easdem partes æqualem, et interiores et ad casdem partes duobus rectis æquales. |
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ἙἰΪς γάρ παραλλήλους εὐυθείας τὰάς ΑΒ. ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ἘΖʼ λέγω ὅτι τάς τεῖ |
In parallelas enim rectas AB, TʼA recta incidat EZ ; dico eamalternos angulos AHO, HOA quales |
Car puisque lʼangle EHB est égal à lʼangle ΗΘΔ, et que l’angle EHB est égal à lʼangle AHΘ (15) , lʼangle AHO est égal à l’angle HO4 ; mais ces angles sont alternes ; donc la droite 48 est parallèle à la droite rA (27) .
De plus, puisque les angles BHΘ, HΘA sont égaux à deux droits, | et que les angles AHΘ, BHΘ sont aussi égaux à deux droits (13) , les angles ΔΗΘ, BHO seront égaux aux angles ΒΘΗ, ΗΘΔ. Retranchons l’angle commun BHΘ ; l’angle restant AHΘ sera égal à l’angle restant HΘ4 ; mais ces deux angles sont alternes ; donc la droite AB est parallèle à la droite ra. (27) . Donc, etc.
Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entrʼeux, l’angle extérieur, égal à l’angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté, égaux à deux droits.
Que la droite Ez tombe sur les droites parallèles 48, ra ; je dis que cette droite fait les angles alternes AHΘ, HΘA égaux entr’eux, l’angle extérieur EHB, égal à
