| ΠΡΟΤΑΣΙΟΣ δ’. | PROPOSITIO IV. |
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Εὰν κύος ἀριθμὸς κύϐον ἀριθμὸν πολλαπλα- σιάσας ποιῇ τινα. ὁ γενόμενος κύϐος ἔσται. |
Si cubus numerus cubum numerum multipli- cans facit aliquem, factus cubus erit. |
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Κύϐος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύζον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω Ἅτι ὁ Γ κύϐος ἐστίν. |
Cubus enim numerus A cubum numerum ipsum B multiplicans ipsum Γ faciat ; dico Γ cubum esse. |
| A, 8. | B, 27. |
| Δ, 64. | Γ, 216. |
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Ο γὰρ Αἴ ἐαυτὸν πολλαηπλασιάσας τὸν Δ ποιείτωΟ ὁ Δ ἄρα αύος ἐστί. Καὶ ἐπεὶ ὁ Α εαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκε, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκενὸο ἐστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β ούὐτως ὁ Δ πρὸς τον Γ. Καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β κύοι εἰσὶν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ, Β2. Κ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοίΓ ὡς τε καὶ τῶν Δ, Γ δύο μμέσοι ἀνάλογον ἐμπέσουνται ἀριθμοί. Καὶ ἐστι κύϐος ὁ Δ· κύϐος άρα καὶ ὁ Γ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Ipse enim A se ipsum multiplicans ipsum Δ faciat ; ergo Δ cubus est. Et quoniam A se ipsum quidem multiplicans ipsum Δ fecit, ipsum vero B multiplicans ipsum Γ fecit ; est igitur ut Δ ad B ita Δ ad Γ. Et quoniam A, B cubi sunt, similes solidi sunt A, B ; ergo inter A, B duo medii proportionales cadunt numeri ; quare et inter Δ, Γ duo medii proportionales cadunt numeri. Atque est cubus Δ ; cubus igitur et Γ. Quod oportebat ostendere. |
Si un nombre cube multipliant un nombre cube fait un nombre, le produit sera un cube.
Car que le nombre cube A multipliant le nombre cube B fasse Γ ; je dis que Γ est un cube.
Car que A se multipliant lui-même fasse Δ, le nombre Δ sera un cube (3. 9). Et puisque A se multipliant lui-même a fait Δ, et que A multipliant B fait Γ, le nombre A est à B comme Δ est à Γ (17. 7). Et puisque les nombres A, B sont des cubes, les nombres A, B sont des solides semblables. Il tombe donc entre A et B deux nombres moyens proportionnels (19. 8) ; il tombera donc aussi entre Δ et Γ deux nombres moyens proportionnels (8. 8). Mais Δ est un cube ; donc Γ est un cube (23. 8). Ce qu’il fallait démontrer.
