| ΠPΟΤΑΣΙΣ έ. | PROPOSITIO V. |
|---|---|
|
Εὰν κύϐος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινά πολλαπλα- σιάσας κύϐον παιῇΐῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύΠιος ἔσται. |
Si cubus numerus numerum aliquem multi- plicans cubum facit, et multiplicatus cubus erit. |
|
Κύϐος γὰρ ἀριθμὸς1 ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας κύ (ον τὸν Γ ποιείτω" λέγω ὅτι ὁ Β κύϐος ἐστίν. |
Cubus enim numerus A numerum aliquem ipsum B multiplicans cubum ipsum Γ faciat ; dico B cubum esse. |
| A, 8. | B, 27. |
| Δ, 64. | Γ, 216. |
|
Ο γὰρ Α ἐαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· κύος ἄρα ἐστὶν ὁ Δ. Καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἐαυτὸν μὲν πολλαπλασιασας τὸν Δ πεποίηκε, τὸν δε Βπολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡς Ο Α πρὸς τὸν Β οὐτως2 ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. Καὶ ἐπεὶ οἰ Δ, Γ κύζοι εἰσὶν, ὅμοιοι στερεοί εἰσι· των3 Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. Καὶ ἔστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνά- λογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. Καὶ ἐστι κύζος ὁ Α· κύϐος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Ipse enim A se ipsum multiplicans ipsum Δ faciat ; cubus igitur est Δ. Et quoniam A se ipsum quidem multiplicans ipsum Δ fecit, ip- sum vero B multiplicans ipsum Γ fecit ; est igitur ut A ad B ita Δ ad Γ. Et quoniam Δ, Γ cubi sunt, similes solidi sunt ; ergo inter Δ, Γ duo medii proportionales cadunt numeri. Atque est ut Δ ad Γ ita A ad B ; et inter A, B igitur duo medii proportionales cadunt numeri. Atque est cubus A ; cubus igitur est et B. Quod opor- tebat ostendere. |
Si un nombre cube multipliant un nombre fait un cube, le nombre multiplié sera un cube.
Car que le nombre cube A multipliant un nombre B fasse le cube Γ ; je dis que B est un cube.
Que A se multipliant lui-même fasse Δ ; le nombre Δ sera un cube (3. 9). Et puisque A se multipliant lui-même fait Δ, et que A multipliant B fait Γ, le nombre A est à B comme Δ est à Γ (17. 7) Et puisque Δ et Γ sont des cubes, ces nombres sont des solides semblables ; il tombe donc entre Δ et deux nombres moyens proportionnels (19. 8). Mais Δ est à Γ comme A est à Β ; il tombe donc entre A et B deux nombres moyens proportionnels (8. 8). Mais A est un cube ; donc B est un cube (23. 8). Ce qu’il fallait démontrer.
