| ΠΡΟΤΑΣΙΣ θʹ. | PROPOSITIO IX. |
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Eὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς1 ἀγάλογον ὡσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μογάδα τετρά- γωνος ῇ· καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται. Καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τήν μονάδα κύδος ἤ" καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύοι ἔσονται. |
Si ab unitate quotcunque numeri deinceps proportionales sunt, ipse autem post unitatem quadratus est ; et reliqui omnes quadrati erunt. Et si ipse post unitatem cubus est ; et reliqui omnes cubi erunt. |
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Εστωσαν ἀπὸ μονάδὸος ἐζῆς ἀνάλογον ὁσοιδη- ποτοῦν3. ἀριϑμοὶ, οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνος ἔστως λέγω ὁτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντἐὲς τετράγωνοι ἔσονται. |
Sint ab unitate deinceps proportionales quot- cunque numeri A, B, Γ, £j, E, Z, ipseautem A post unitatem sit quadratus ; dico et reliquos om- nes quadratos fore. |
| 1. | A, 4. | B, 16. | Γ, 64. | Δ, 256. | E, 1024. | Z, 4096. |
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Οτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδὸος ὁ Β τετράγωνὸς ἐστι, καὶ οἱ ἐνα διαλείποντες πάγν- τες, δέδεκταιςἧ λέγω ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν. Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ ἐξῆς ἀγάλογοὸον ἐίσι, καὶ ἐστιν ὁΑ τέτράγωνοςὉὉ καὶί ο Γ ἄρα3 τεέτράγωνός ἐστι. Πάλιν, ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἐξῆς ἀνάλογὸόν εἰσι, καὶ ἔστιν δ Β τετράγωνος" καὶ ὁ Δ ἀρα τετράγωνός ἐστιν. Ομοίως δὴ δεί- ξομεν ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν. |
Tertium quidem ab unitate B quadratum esse, et unum intermittentes omnes, demons- tratum est ; dico et reliquos omnes quadratos esse. Quoniam enim A, B, Γ deinceps propor- tionales sunt, et est A quadratus ; et Γ igitur quadratus est. Rursus, quoniam B, Γ, Δ deinceps proportionales sunt, et est B quadratus ; et ipse Δ igitur quadratus est, Similiter etiam de- monstrabimus et reliquos omnes quadratos esse. |
Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si celui qui est après l’unité est un quarré, tous les autres seront des quarrés ; si celui qui est après l’unité est un cube, tous les autres seront des cubes.
Soient, à partir de l’unité, tant de nombres que l’on voudra A, B, Γ, Δ, Ε, Ζ successivement proportionnels, et que celui qui est après l’unité soit un quarré ; je dis que tous les autres seront des quarrés.
On a déjà démontré que le troisième B, à partir de l’unité, est un quarré, ainsi que tous ceux qui en laissent un (8. 9) ; je dis aussi que tous les autres sont des quarrés. Car puisque A, B, Γ sont successivement proportionnels, et que A est un quarré, Γ est un quarré (22. 8). De plus, puisque les nombres B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que B est un quarré, Δ est aussi un quarré. Nous démontrerons semblablement que tous les autres sont des quarrés.
