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Αλλὰ δὴῥδᾷ ἔστω ὁ Α κύϐος· λέγω ὅτι καϊδ οἱ λοιποὶ πάντες κύϐοι εἰσίν. |
Sed et sit A cubus ; dico et reliquos omnes cubos esse. |
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Οτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδὸς ὁ Γ κύϐος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, δέ- δεκται·ς λέγω7 ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύοι εἰσίν. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α Οὕτως ΟΑ πρὸς τὸν Β· ἰσάκις ἄρώ η μονὰς τον Α μέτρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. Η δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ |
Quartum quidem ab unitate ipsum Γ cubum esse, et duos intermittentes omnes, demons- tratum est ; dico et reliquos omnes cubos esse. Quoniam enim est ut unitas ad A ita A ad B ; æqualiter igitur unitas ipsum A metitur ac A ipsum B. Sed unitas ipsum A metitur per uni- |
| 1. | A, 8. | B, 64. | Γ, 512. | Δ, 4096. | E, 32768. | Z, 262144. |
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κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἐαυτὸν πολλαπλασιαάσας τὸν Β σπέποίηκέ, καὶ ἐστιν ὁ Α κύϐος. Εὰαν δὲ κύϐος ἀριθμὸς ἑαῦτὸν πολλαπλασιασας ποιῃ τινά. ὁ γένόμένος κύ΄ος ἐστί καὶ ΟΒ ἄραὰ κύθος ἐστί8. Καὶ ἐπεὶ τέσσαρές ἀριθμεὶ οἱ A, Β, Γ, Δ ἐξῆς ἀνάλογόν εἰσι, καὶ στιν ὁ Α κύϐος· καὶ ὁ Δ ἄρα κύϐος ἐστί. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Β κύϐος ἐστὶ, καὶ ὁμοίως οἱ λοι- ποὶ πάντες κύοι εἰσίν. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
tates que in ipso ; et A igitur ipsum B metitur per uaitates quæ in ipso ; ergo A seipsum mul- tiplicans ipsum B fecit, atque est A cubus. Si autem cubus numerus se ipsum multiplicans facit aliquem, factus cubus est ; et B igitur cubus est. Et quoniam quatuor numeri A, B, Γ, Δ deinceps proportionales sunt, et est A cubus ; et Δ igitur cubus est. Propter eadem utique et E cubus est, et similiter reliqui omnes cubi sunt, Quod oportebat ostendere. |
Mais que A soit un cube ; je dis que tous les autres sont des cubes.
On a déjà démontré que le quatrième, à partir de l’unité, est un cube, ainsi que tous ceux qui en laissent deux (8. 9) ; je dis aussi que tous les autres sont aussi des cubes. Car puisque l’unité est à A comme A est à B, l’unité mesure A autant de fois que A mesure B (déf. 21. 7). Mais l’unité mesure A par les unités qui sont en lui ; s donc A mesure B par les unités qui sont en lui ; donc A se multipliant lui-même fait B ; mais A est un cube ; et si un nombre cube se multipliant lui-même fait un nombre, le produit est un cube (3. 9) ; donc B est un cube. Et puisque les quatre nombres A, B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que A est un cube, Δ est un cube (23. 8). Par la même raison E est aussi un cube, ainsi que tous les autres. Ce qu’il fallait démontrer.
