LE NEUVIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE. 79
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιέ. | PROPOSITIO XKV. |
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Εὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ἐλά- χιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς· δύο ὁποιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν. |
Si tres numeri deiuceps proportionales sunt, minimi ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis ; duo quicunque compositi ad reli- quum primi sunt. |
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Εστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἐξῆς ἀνάλογον, ἐλά- χιστοι τῶν τὶν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ Α, Β, Γῖ λέγω ὅτι τῶν Α, Β, Γ1 δύο ὁποιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν, οἱ μὲν Α, Βπρὸς τὸνΓ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸς τὸν Α, καὶ ἔτι οἱ Γ, Α πρὸς τὸν Β. |
Sint tres numeri deinceps proportionales, A, B, F, minimi eorum eamdem rationem habentium cum ipsis ; dico ipsorum Δ, B, Γ duos quoscunque compositos ad reliquum primos esse, ipsos quidem A, B ad Γ, ipsos autem B, Γ ad A, et adhuc ipsos Γ, A ad B. |
| A, 9. | B, 12. | Γ, 16. |
| Δ | E. | Z. |
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Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων το ; ᾷξΔ Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ. Φανερὸν δὴ2 ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλα- πλασιάσας τὸν Α πεποίηκε, τὸν δὲ Ε7Ζ πολλα- πλασιάσας τὸν Β πεποίηκε, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκε. Καὶ ἐπεὶ οἱ |
Sumantur enim duo ΔAE, EZ minimi numeri eorum eamdem rationem habentium cum ipsis Α, B, Γ. Evidens est et quidem AE se ipsum multiplicantem ipsum A facere ; ipsum vero EZ multiplicantem ipsum B facere, et adhuc EZ se ipsum multiplicantem ipsum Γ facere. Et |
Si trois nombres successivement proportionnels sont les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux, la somme de deux quelconques de ces nombres sera un nombre premier avec le nombre restant.
Que les trois nombres A, Β, Γ successivement proportionnels soient les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux ; je dis que la somme de deux des trois nombres A, B, Γ est un nombre premier avec le nombre restant, savoir la somme de A et de B avec Γ, la somme de B et de Γ avec A, et la somme de Γ et de A avec B.
Car prenons les deux plus petits nombres SE, EZ qui ont la même raison avec A, B, Γ. Il est évident que ΔΕ se multipliant lui-même fera A, que ΔΕ multipliant EZ fera B, et que ΕΖ se multipliant lui-même fera Γ (2. 8). Et puisque
