73 LE NEUVIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DEUCLIDE.
|
Καὶ ἐπὲέἱὶλο Ε τον 4 μετρει 2Ὼ. ἐπετρείτω αυτὸν κατά τὸν Ζ· ὁ Β ἀρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκε. Καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ τῶν2 πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. Εαν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολ- λαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμὸς, καὶ ἐνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρησειὉ οἱ Β, Γ, Δ |
E ipsum A metitur, metiatur eum per Z ; ergo E ipsum Z multiplicans ipsum A fecit. Et mensuratur A a primis numeris B, Γ, Δ. Si autenr duo numeri sese multiplicantes faciunt aliquem, factum vero ex ipsis imetitur aliquis primus numerus, et unum eorum a principio metietur ; ergo B, Γ, Δ unum ipsorum Β, Z |
| A, 30. | ||||
| B, 2. | Γ, 3. | Δ, 5. | ||
| E----- | Z------- |
|
ἄρα ἕνα τῶν Β, Ζ μετρήσουσι. Τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν, ὁ γὰρ ΒΕ πρῶτός ἐστι, καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός· τὸν Ζ ἀρὰ μετρησουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α, ὀπερ ἐστὶν35 ἀδύνατον, ὁ γάρ Α υποόκειται ἐλάχιστος υπὸ τὼν Β, Γ, Δ μετροὐμενος4· οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς, πάρεξ τῶν Β, Γ, Δ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
metiuntur. Ipsum quidem E non metientur, ipse E enim primus est, et cum nullo ipsorum B, Γ, Δ idem ; ipsum Z igitur metientur minorem exis- tentem ipso A, quod est impossibile, ipseenim A ponitur minimus ab ipsis B, Γ, Δ mensuratus ; non igitur ipsum A metietur primus numerus, præter ipsos B, Γ, Δ. Quod oportebat ostendere. |
aucun des nombres B, Γ, Δ. Puisque E mesure A, qu’il le mesure par Z ; le nombre E
multipliant Z fera A. Mais A est mesuré par les nombres premiers B, Γ, Δ, et lorsque
deux nombres se multipliant l’un l’autre font un nombre, et qu’un nombre premier mesure le produit, ce nombre mesurera un des nombres qu’on avait d’abord
supposés (32. 7) ; les nombres B, Γ, Δ mesurent donc un des nombres E, Z.
Mais ils ne mesureront pas E, car E est un nombre premier, et il n’est aucun des
nombres Β, Γ, Δ ; ils mesurent donc Z, qui est plus petit que A ; ce qui est impossible, car A est supposé le plus petit nombre mesuré par B, Γ, Δ ; donc aucun
nombre premier, si ce n’est B, Γ, Δ, ne mesurera A. Ce quʼil fallait démontrer.
