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Εστωσαν οἱ Π, Ρ, Σ, Τ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡ. Π πρὸς τὸν Ρ οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, οἱ δὅ ΑΑ, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λογον ἐχοῦντας αυτοίῖς ἰσάκις, 0 τε. “ ἡγου- μένος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἐπόπενος τὸν ἐπό- ἱμενων. ὁ Β ἀρὰ Τὸν ΡΣ μετρει. Διὰ τὰ αὐΤὰ δὴή τροῦσι" καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, ΓΓὶ με- τρούμενος τὸν Ρ̓ μετρή σει. Ελάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν, Β, 0Γ μετρουμινός. ἐστιν ὁ Η ΟῊ ἀρὰ τν Ρ μόλιέτρει. Καὶ ἐστιν ὡς ΟἩ πρὸς τὸν Ρ Οοὕτως ο Κ πρὸς τὸν Σ. καὶ ὁ Κ ἄρὰ τὸν Σ μεέτρεί. Μέτρειί δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ. οΕ, Κ ἄρα τὸν Σ μετρουσι" καὶ ὁ ἐλάχιστος ἀρὰ υπὸ τῶν Ε, ΧΚ μετρούυμενος τον Σ μετρήσει. Ελάχιστος δέ ὑπὸ τῶν Ε, Κ μόε- τρούμενὸς ἐστιν ὁ Μ. ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ, ὁ μείζων τὸν ἐλάττονα, ὁπὲρ ἐστὶν ἀδὐνατον οὐκ ἄρα ἐσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξὴς ἀνάλογον ! 19 ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τον Β καὶ του Γ πρὸς τὸν Δ" καὶ ἔτι τοῦ Ἐ σρὸς τὸν Ζ λόγοις. Οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἐξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τολς20 Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ λόγοις. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Sint H, P, Z, T. E quoniam est ut lf ad P ita A ad B, ipsi autem A, B minimi, ipsi vero minimi metiuntur æqualiter ipsos eamdem ratio- nem habentes cum ipsis, et antecedens antece- dentem, et consequens consequentem ; ipse igitur B ipsum, P metitur. Propter eadem utique et Γ ipsum P metitur. Ipsi B, Γ igitur ipsum Γ metiuntur ; et minimus igitur ab ipsis B, Γ mensuratus ipsum E metietur. Minimus autem ab ipsis B, Γ mensuratus, est ipse H ; ipse H igitur ipsum P metitur. Et est ut H ad, ita K ad E ; el K igitur ipsum E metitur. Metitur autem et E ipsum E ; ipsi E, K igitur ipsum E metiuntur ; et minimus igitur ab ipsis E ;, K mensuratus ipsum E metietur. Miuimus autem ab ipsis E, K men- suratus, est ipse M ; ipse M igitur ipsum Z me- titur, major minorem, quod est impossibile. Non igitur erunt aliqui ipsis N, Z, M, O minores numeri deinceps proportionales et in rationibus ipsius A ad B, etipsius Γ ad ΔΔ, et adhuc ipsius E ad Z ; ipsi N, Z, M, O igitur deinceps pro- portionales miuimi sunt in rationibus A, B, Γ, Δ, E, Z:Quod oportebat ostendere. |
m, Pp, , Τ. Puisque Π est à P comme ñ est B, que Α, B sont les plus petits, et
que les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux,
l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent. (21. 7), le nombre B
mesurera P. Par la même raison Γ mesurera P ; donc B, Γ mesurent P ; donc le plus
petit nombre mesuré par B, Γ mesurera P (37. 7j) — Mais le plus petit nombre
mesuré par B, Γ est H ; donc H mesure P. Mais H est à P comme Κ est à Σ (13. 7) ;
donc K mesurez (déf. 20. 7. ; mais B mesure z ; donc E, K mesurent Z ; donc le plus
petit nombre mesuré par E, K mesurera Σ. Mais le plus petit nombre mesuré par
E, K est M ; donc M mesure z, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ;
donc il n’y aura pas certains nombres plus petits que N, , M, O successivement
proportionnels dans les raisons de à B, de r à n, et de B à 7; donc N, Z, M, O
sont les plus petits nombres qui soient successivement proportionnels dans les
raisons de A, B, Γ, Δ, E, Z. Ce qu’il fallait démontrer.
