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Οτι μὲν οὐν οἱ Α, Β, Γ, Δ, E ἑξῆς αλληλους οὐ μετροῦσι, φανερόν. Οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ. Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει. Εἰ γὰρ δυνατὸν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ. Καὶ ὅσοί1 εἰσιν οἱ Α, Β, Γὶ τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐυτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ, οἱ Ζ, H, Θ. Καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Δ, Β, Γ, καὶ ἔστιν ἴζσον τὸ |
Et quidem ipsos A, B, E, A, E deinceps non se se metiri evidens est. Non enim A ipsum B metitur. Dico etiam neque alium aliquem ullum mensurum esse. Si enim possibile, metiatur A ipsum Γ. Et quot sunt A, B, Γ tot sumantur mi- nimi numeri ipsorum eamdem rationem haben- ttium cum ipsis A, B, Γ, ipsi Z, H, Θ. Et quoniam Z, H, Θ in eiádem ratione suntctum |
| A, 16. | B, 24. | Γ, 36. | Δ, 54. | E, 81. |
| Z, 4. | H, 6. | Θ, 9. |
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πλῆθος τῶν Α, Β, Γ τῷ πλήθει τῶν Ζ, Η, Θ. διείσου ἄρα ἐστὶν ὡς 5 Σἡ πρὸς τὸν Γὶ οὕτως ὁὃ Ζ πρὸς τὸν Θ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡςὡ ὁΘὁ Α πρὸς τὸν Β οὕτως ὃ 1 πρὸς τὸν Η, οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β. οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν Η. οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ, ἡ γὰρ μονὰς πάντα ἀριθμὸν μετρεῖ2, καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὲς ἀλλήλους. οὐδὲ ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ"5, Καὶ ἔστιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ. οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν ΓΥ̓ μετρεῖ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρεῖ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
ipsis A, B, Γ, et est æqualis ruultitudo ipsorum Δ, B, Γ multitudini ipsorum Z, H, e ; exæquo igitur est ut A ad Γ ita Z ad &. Et quoniam est ut A ad B ita Zad H, non metitur autem A ipsum B ; non metitur igitur et Z ippum H ; non igitur unitas est Z, unitas enim omnem numerum me- titur, et sunt Z, Θ primi inter se ; nequeZ igitur ipsum e metitur,. Et est ut Z ad &V ita A ad Γ ; neque A igitur ipsum Γ metitur. Similiter utique ostendemus neque alium aliquem ullum metiri. Quod oportebat ostendere. |
Il est certainement évident que les nombres Α, B, Γ, 4, E ne se mesurent point
successivement les uns les autres, puisque Α ne mesure pas B. Je dis de plus
qu’aucun autre n’en mesure un autre ; car que Α mesure T, si cela est possible.
Autant qu’il j a de nombres Α, B, Γ, autant soient pris de nombres qui soient
les plus petits de ceux qui ont la même raison avec Α, B, Γ (35. 7), et que ces
nombres soient Z, H,. Puisque les nombres Z, H, Θ sont dans la même raison que
a, B, T, et que la quantité des nombres Α, B, Γ est la même que la quantité des
nombres z, H, , par égalité Α est à comme Z est à Θ (14. 7). Et puisque Α est à B
comme Z est à H, et que Α ne mesure pas B, Z ne mesure pas H (20. déf. 7) ;
donc m’est pas l’unité, parce que l’unité mesure tous les nombres (déf. 1. 7) ; donc
Ζ, Θ sont premiers entr’eux ; donc Z ne mesure pas Θ (déf. 12. 7.). Mais Z est à Θ
comme Θ est à Γ ; donc Α ne mesure pas Γ. Nous démontrerons semblablement
qu’aucun autre n’en mesure un autre. Ce qu’il fallait démontrer.
