| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιά. | PROPOSITIO XI. |
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Δύο τετραγωνὼν ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογοὸν ἐστιν ἀριθμὸς, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τε- τράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τήν πλευρᾶν. |
Duorum quadratorum numerorum unus me- dius proportionalis est numerus, et quadratus ad quadratum duplam rationem habet ejus quam latus ad latus. |
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Εστωσαν τετράγωνοι ἀριϑμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἐστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ. λεγω ὁτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ῤόῬχει ἡπέὲρ ΟΓ πρὸς τὸν ἃΔ. |
Sint quadrati numeri A, B, et ipsius quidem A latus sit Γj, ipsius vero B ipse A ; dico ip- sorum A, B unum mediuni proportionalem esse numerum, et A ad B duplam rationem habere ejus quam Γ ad 4Δ. |
| A, 4. | E, 6. | B, 9. | ||
| Γ, 2. | Δ, 3. |
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Ο Γ ργαρ τὸν Δ σχσολλαπλασιάσας τὸν Β ποιείτω. Και ἐπηεῖ τἐτραγωνοὸς ἐστιν. ο0 Ας πλευρὰ δὲ αυτοῦ ἔστιν Οο΄Ὁὁ ΟΤ ἄρα ἐαυτὸν πολλαπλα- σιάσας τὸν Α πεέποίηκες. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἃ ἐαυτοὸν πολλαχλασιασὰς τὸν Β πεποίηῃκεν". ἐπεὶ οὐν ὁ Γ ἐκαάτεέερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιασας ἐκάτερον τῶν Α, ; Ε πεποίηκεν" ἐστιν ἀρὰ ὡς 0 Γ πρὸς τὸν Δ ουὐτῶς ΟΑ πρὸς τον Ε. Δια τα αὐτὰ δὴ καὶ ὡς Γ πρὸς τὸν Δ ὀὕτως ὁ ΒΕ πρὸς |
Ipse Γ enim Δ multiplicans ipsum E faciat. Et quoniam quadratus est A, latus autem ip- sius est Γ ; ergo Γ se ipsum multiplicans ipsum A fecit. Propter eadem utique et Δ se ipsum multiplicans ipsum B fecit ; quoniam igitur Γ utrumque ipsorum Γ, Δ multiplicans uttumque ipsorum A, E fecit ; est igitur ut Γ ad Δ itaA ad E. Propter eadem utique et ut Γ ad A ita E ad |
Entre deux nombres quarrés, il y a un nombre moyen proportionnel, et le quarré est au quarré en raison double de celle que le côté a avec le côté.
Soient les nombres quarrés Α, B ; que le côté de Α soit Γ, et que le côté de B soit Δ ; je dis qu’il y a un nombre moyen proportionnel entre A et B, et que A a avec B une raison double de celle que Γ a avec Δ.
Car que Γ multipliant Δ fasse B Puisque Α est un nombre quarré, et que son côté est Γ, le nombre Γ se multipliant lui-même fait A (déf. 18. 7). Par la même raison le nombre Δ se multipliant lui-même fait B ; donc puisque Γ multipliant l’un et l’autre nombre Γ, Δ fait l’un et l’autre nombre Α, E, le nombre Γ est à Δ comme Α est à E (17. 7). Par la même raison Γ est à à comme E
