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τὸν Β2. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Ε οὕτως ὃ Ε πρὸς τὸν Β. Τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Ε3. |
B ; et ut igitur A ad-E ita E ad B. Ipserum AΔ, B igitur unus medius propertionalis est nu- merus E. |
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Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. Επεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογάν εἰσιν, οἱ Α, Ε, ΒΆʼ ὁ Α ἄρα πρὸς Εὸδν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ δ) Α πρὸς τὸν Ε. Ωῶς δὲδΑ πρὸς τὸν Ἐ οὕτως ὁΤ πρὸς τὸν Δʼ ὁᾺ ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ πλευράνήἧ, Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Dico etiam et & ad B duplam rationem ha- bere ejus quam Γ ad Δ. Quuoniam enim tres numeri proportionales sunt A, E, B ; ergo A ad B duplam rationem habet ejus quam A ad E. Ut autem A ad E ita Γ ad Δ ; ergo Δ ad B duplam rationem habet ejus quam F latus ad A latus. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϐʼ. | PROPOSITIO XII. |
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Δύο κύζων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ, καὶ ὁ κύζος πρὸς τὸν κύζον τριπλασίονα λόγον ἐχέι ἡπερ ἡ τλευρὰ πρὸς τὴν πλευραν. |
Duorum cuborum duo medii proportionales sunt numeri, et cubus ad cubum triplam ra- tionem habet ejus quam latus ad latus. |
| A, 8. | Θ, 12 | K, 18. | B, 27. | |||
| E, 4. | Z, 6. | H, 9. | ||||
| Γ, 2. | Δ, 3. |
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Εστωσαν κύζοι ἀρεθμοὶ, οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἐστὼ ΟΤ, τοὺ δὲ Β ὁ Δ. λέγὼ ὅτι |
Sint cubi numeri A, B, et ipsius quidem A latus sit Γ, ipsius vero B ipse Δ ; dico ip- |
est à B ; donc A est à E comme E est à B ; donc le nombre E est moyen proportionnel entre Α, B.
Je dis aussi que A a avec B une raison double de celle que Γ a avec Δ. Car puisque les trois nombres A, E, B sont proportionnels, le nombre Α a avec B une raison double de celle que A a avec B. Mais Α est à E comme Γ est à Δ ; donc A a avec B une raison double de celle que le côté Γ a avec le côté Δ. Ce qu’il fallait démontrer.
Entre deux nombres cubes, il y a deux nombres mogens proportionnels, et le cube a avec le cube une raison triple de celle que le côté a avec le côté. Soient les nombres cubes A, B, et que Γ soitle côté de, et Δ le cété de B ; je
