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ποίηκεν ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Επρὸς τὸνΖ οτως ὁ Α πρὲς τὸν Θ. Ως δὲ ὁ E προς τὸν Ζ οὕτως ΟΓ πρὸς τὸν Δο καὶ ως ἄρα ΟΓΙ πρὸς τον Δ οὐτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. Πάλιν, ἐπεὶ3 ἐκάτερος τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἐκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκέν ἐστιν ἀρὰ ὡς 0ὁ Γ σρος τον Δ οὐτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. Πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἐκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Β Πε- ποίηκεν ἐστιν ἀρὰ ὡς ὁΖ πρὸς τὸν Η οὐτως οΟ Κ πρὸς τὸν Β. Ως δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ὡς ἄρα ὁΓ πρὸς τὸν Δ οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Β. Εδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁΤ πρὸς τὸν Δ οὕτως ὁ. τε αλΑΆΑ πρὸς τὸν Θἔ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Βʼ τῶνΑ, Β ἄρα 0 μέσοι ἀναλογον εἰσιὶν ἀριϑμοιῖ, οἱ Θ, Κ. |
ad Z ita A ad &. Ut autem E ad Z ita Γ ad Δ ; et ut igitur Γ ad) ita A ad &. Rursus, quoniam uterque ipsorum Γ, Δ ipsum Z multiplicans utrumque ipsorum e, K fccit ; est igitur ut Γ ad A ita ΘV ad K. Rursus, quoniam ΔΔ utrumque ipsorum Z, H multiplicans uttumque ipsorum K, B fecit ; est igitur ut Z ad H ita K ad B, Ut autem Z ad H ita Γ ad 4 ; et ut igitur Γ ad Δ ita K ad B. Ostensum autem est et ut Γ ad) ita et A ad &, et Θ ad K, et K ad B ; ipsorum A, B igitur duo medii proportionales sunt numeri Θ, K. |
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Λέγω δὴ ὅτι καὶ δΑ πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λύόγον ἔχει ἥπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ΕπΠεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν, οἱ Α, Θ, Κ, Β ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπεροα πρὸς τὸν Θ. Ως δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Θ οὕτως ὁ Γ πρὸς τον ΔοΨΡ κΚαι ο αρα5 πρὸς τὸν Β τριπλασίοτα λόγον ἔχει ἤπερ ὁΓΓΓΧ πρὸς τὸν Δ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Dico etiam et A ad B triplam rationem habere ejus quam Γ ad &). Quoniam enim quatuor nu- meri A, e, K, B proportionales sunt ; ergo A ad B triplam rationem habet ejus quam A ad e. Ut autem A ad & ita Γ ad Δ ; et A igitur ad B triplam rationem habet ejus quam Γ ad 4. Quod oportebat ostendere. |
nombres A, Θ, le nombre E est à Ζ comme est à Θ. Mais E est à Ζ comme Γ est à
Δ ; donc Γ est à Δ comme Α est à Θ. De plus, puisque les nombres Γ, Δ multipliant
Z ont fait les nombres Θ, k ; le nombre Γ est à Δ comme ws est à K (18. 7). De plus,
puisque Δ multipliant les nombres Z, H fait les nombres Κ, B, le nombre Z est à H
comme K est à B. Mais Ζ est à H comme T est à n ; donc Γ est à Δ comme K est à B.
Mais il a été démontré que Γ est à 1 comme a est à, comme Θ est à K, et comme
k est à B ; donc entre A, B il y a deux nombres moyens proportionnels Θ, K.
Je dis aussi que A a avec B une raison triple de celle que Γ a avec Δ. Car puisque les quatre nombres Α, Θ, K, B sont proportionnels, Α aura avec B une raison triple de celle que Α a avec Θ. Mais Α est à Θ comme Γ est à Δ ; donc Α a avec B une raison triple de celle que Γ a avec Δ. Ce qu’il fallait démontrer.
