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ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἡπερ πρὸς τὸν Η. Καιὶ ἐστιν ὡς 0 Α πρὸος τὸν Η͂ οὑτως ὁ6, τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζς ὗκαὶ ὰ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
sunt, A ad B duplam rationem habet ejus quam ad H. Atque est ut A ad H ita et Γ ad E et Aad Z ; et A igitur ad B duplam rationem habet ejus quam et Γ ad E vel Δ ad Z. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιθʹ. | PROPROSITIO XIX. |
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Δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνά. λογον ἐμπίπτευσιν ἀρεθμοί. καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὑμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ομόλογος πλευρά πρὸς τὴν Ομολογον πλευραν. |
Inter duos similes solidos numeros duo medii proportionales cadunt numeri ; et solidus ad si- milem solidum triplam rationem habet ejus quam homologum latus ad homologum latus. |
| A, 30. | N, 60. | Ξ, 120. | B, 240. | |||||||
| K, 6. | M, 12. | Λ, 24. | ||||||||
| Γ, 2. | Δ, 3. | E, 5. | Z, 4. | H, 6. | Θ, 10. |
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Εστωσαν δύο ὅμοιοι στερθοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἐστωσαν οἱ Γ. Δ, Β, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ, Η, Θ. Καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀναλογον ἔχοντες τὰς πλευράς. ἔστιν ἄρα ὡς |
Sint duo similes solidi A, B, et ipsius quidem A latera sint Γ, 7, E, ipsius vero B ipsi Z, H, Θ. Et quoniam similes solidi sunt qui propor- tionalia habent latera ; est igitur ut quidem ad |
une raison double de celle que A a avec H. Mais Α est à H comme Γ est à E, et
comme Δ est Ζ ; donc A avec B une raison double de celle de Γ avec E,
ou de celle que Δ a avec Z. Ce qu’il fallait démontrer.
Entre deux nombres solides semblables il y a deux nombres moyens proportionnels ; et un nombre solide a avec un nombre solide semblable une raison triple de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue.
Soient Α, B deux nombres solides semblables ; que Γ, Δ, E soient les côtés de A, et Z, H, les côtés de B. Puisque les nombres solides semblables sont ceux qui ont leurs côtés homologues proportionnels (déf. 21. 7), Γ est à Δ comme Z à H,
