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ἀνάλογέν εἰσιν ο Α, Ν, Ξ, Β. ὁ Α ἄρα πρὸς τόνΒ τριπλασίονα λογον ἐχέὲν ἡπερ ὁ Α σροὸς τὸν Ν. Αλλ᾽ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ν οὕτως ἐδείχθη ὅ, τεΓ. πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ἡ καὶ ἔτι 6Ε πρὸς τὸν ΘΚς και Α ἄρα πρὸς τὸν Β τρι- πλασίονα λόγον ἐχέι ἡπὲρ ἡ Ομολογος πλευρά πρὲς τὶὰν ὁμόλογον πλευρὰν, τουτέστιν ἥπερ δ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Β πρὸς τὸν Θ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
B ; ergo A ad B triplam rationem habet ejus quam A ad N. Sed ut A ad N ita ostensum est et Γ ad Z et Δ ad H et adhuc E ad Qæ ; eta igitur ad B triplam rationem habet ejus quam homologum latus ad homologum latus, hoc est quam Γ numerus ad Z et Δà ad H et adhuc E ad Q. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ΄. | PROPROSITIO XX. |
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Εὰν δύο ἀριθμῶν εἷὶς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτὴη αριθμὸς, ὁμοιοι ἐπίπεδοι ἐσονται οἱἱ ἀριθμοί. |
Si inter duos numeros unus medius proportionalis cadat numerus, similes plani erunt numeri. |
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Δύο γὰρ ἀριμῶν τῶν Α, Β εἷς μέσος ανά- λογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ. λέγω ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. |
Inter duos enim numeros A, B unus medius pro- portionalis cadat numerus Γ ; dico ipsos A, B similes planos esse numeros. |
| A, 8. | Γ, 12. | B, 18. | ||
| Δ, 2. | E, 3. | Z, 4. | H, 6. |
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Εἰληφθωσαν γὰρλ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ. τῶν τὸν αὐτὸν λογὸν ἐχοντὼν τοι A, Γ, οἱ Δ, Ε. ἐστιν |
Sumantur enim Δ, E minimi numeri ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis A, Γ ; |
les quatre nombres A, N, Ξ, B sont successivement proportionnels, le nombre ñ
a avec B une raison triple de celle que 4 a avec N. Mais on a démontré que
A est à N comme T est à Z, comme s est à H, et comme E est à Θ ; donc Α a avec B
une raison triple de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue,
c’est-à-dire de celle que le nombre Γ a avec Z, de celle que Δ a avec H, et de
celle que Ε a avec. Ce qu’il fallait démontrer.
Si entre deux nombres il tombe un nombre moyen proportionnel, ces nombres seront des plans semblables.
Car qu’entre les deux nombres A, B il tombe un moyen proportionnel Γ ; je dis que les nombres Α, B sont des plans semblables.
Car prenons les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec
