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E, Ζ, Η. οἱ ἀρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸς αλληλοὺς εἰσὶ, Καὶ ἐπεὶ τῶὼν Ε, ΗῆΥΑ εἰς μέεσος ἀνάλογον ἐμππ͵ήπτωκεν ἀριθμὸς ὁ Ζ᾽ οἱΕα Η ἀρὰα ἀριθμοὶ ὁμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί1, Εστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ἑ πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η͂ οἱ λ, Μ. φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ39 τούτου ὅτι οἱ Ε, Ζ, Ἡ ἐξῆς εἰσιν ἀνάλογονθ ἐν τεέ τῷ τοῦ Θ πηρὸς τὸν Λ λογῷ καὶ τῷ τοὺ Κα πρὸς τὸν Μ. Καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶὼν τὸν αὐυὐτὸν λογον ἐχοντῶν τοις Α, Γ, Δ. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πληθει τῶν Α, Γ, Δ7. διείσου ἀρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς |
Δ, scilicet ipsi E, Z, H ; ergo exiremi eorum E, H primi inter se sunt. Et queniam inter E, H unus medius proportionalis cecidit numerus Z ; ergo E, H numeri similes plani sunt numeri. Sint igitur ipsius quidem E latera ipsi &, K, ipsius vero H ipsi 4, M ; evidens igitur est ex antecedente E, Z, H deinceps esse proportiona- les in ipsius e ad A ratione et in ipsius K ad M. Et quoniam E, Z, H minimi sunt ipsorum eam- dem rationem habentium, cum ipsis A, Γ, Ai et est æqualis multitudo ipsorum E, Z, H mul- titudini ipsorum A, PΓ, Δ ; ex æquo igitur est |
| A, 24. | Γ, 72. | Δ, 216. | B, 648. | |||
| E, 1. | Z, 3. | H, 9. | ||||
| Θ, 1. | K, 1. | N, 24. | Λ, 3. | M, 3. | Ξ, 72. |
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τὸν οὐυτὼς ΟΑ πρίς τὸν Δ. Οἱ δὲ Ε, Η͂ πρῶτοι. οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μέτρουσι τοὺς τὸν αὐτον λόγον ἐχόντας αὐτοῖς ἐσάκις, ὃ, τε μείζων τον μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλαάσσονα. τοὐυτέεστιν ὁ. τέὲέ ἡγουμέενος τὸον ἠγουμένον καὶ ὁ ἐπομΨένος τὸν ἐπομέάνον" ἰσακις ἄρὰ ὁ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ. Οσαάκις δὴ |
ut Ead H ita A ad Δ. Ipsi autem E, H primi, primi vero et minimi, minimi autem metiuntur ipsos æqualiter eamdem rationem habentes cum ipsis, major majorem, et minor mino- rem, hoc est et antecedens antecedentem, et consequens consequentem ; æqualiter igitur E ipsum A metitur ac H ipsumn Δ4. Quoties |
A, Γ, Δ (35. 7) ; qu’ils soient E, Z, H ; leurs extrêmes E, H seront premiers
entreux (3. 8). Et puisque entre E, H il tombe un moyen proportionnel z, les
nombres E, H seront des nombres plans semblables (20. 8). Que Θ, K soient
les côtés de E, et Λ, M les côtés de H ; il est évident, d’après ce qui précède,
que les nombres E, Z, H sont successivement proportionnels dans là raison de
Θ ὰ Λ et de K à M. Et puisque les nombres E, Z, H sont les plus petits de ceux qui
ont la même raison avec A, Γ, à, et que la quantité des nombres E, Z, H est
égale à la quantité des nombres Α, Γ, Δ, par égalité B est à H comme Α est à Δ (14. 7).
Mais les nombres E, H sont premiers entr’eux, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7), et les plus petits mesurent également ceux qui
ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus
petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (ai. 7) ; le nombre Ε mesure donc le nombre Α autant de fois que H mesure Δ.
