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II. — Conséquences géométriques.

Considérons une longueur quelconque définie par les coordonnées dans les deux systèmes ${\rm {S}}$ et ${\rm {S^{\prime }}}$ de ses extrémités, $\scriptstyle x_{1}^{\prime }$, $\scriptstyle x_{2}^{\prime }$ et $\scriptstyle x_{1}$, $\scriptstyle x_{2}$.

Supposons qu’elle appartienne à ${\rm {S^{\prime }}}$ en mouvement par rapport à ${\rm {S}}$. La première des formules de transformation nous donnera

$x_{2}^{\prime }-x_{2}^{\prime }={\frac {1}{\beta }}(x_{2}-x_{1}),$

ou

$l^{\prime }={\frac {1}{\beta }}l,$

et

$l=\beta l^{\prime }.$

Mais si au lieu de considérer ${\rm {S^{\prime }}}$ comme se mouvant par rapport à ${\rm {S}}$ nous considérons au contraire ${\rm {S}}$ comme se mouvant par rapport à ${\rm {S^{\prime }}}$ nous aurons

$l={\frac {1}{\beta }}l^{\prime },$

$l^{\prime }=\beta l.$

C’est-à-dire qu’une même longueur paraît à un observateur se raccourcir quand elle se met en mouvement par rapport à lui ; autrement dit :

La longueur cinématique est plus petite que la longueur géométrique.

On tirera de là naturellement toutes les conséquences qu’amène, dans une surface ou un