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mule de Newton. Aucune de ces modifications n’a donné de chiffres concordant avec la réalité. Il était donc particulièrement intéressant de voir si la nouvelle théorie pouvait, sans hypothèse complémentaire, fournir la solution du problème, autrement dit si le calcul correct, conduit d’après les nouvelles formules générales, et, pour les diverses planètes, de la même façon, donnait un chiffre correspondant aux observations.

Une application numérique montre qu’on peut sans erreur appréciable écrire l’équation du mouvement

$\left({\frac {h}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}{\frac {h^{2}}{r^{2}}}=c^{2}-1+{\frac {2m}{r}}+{\frac {2mh^{2}}{r^{2}}}$

ou, en posant

$u={\frac {1}{r}},$

$\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}+u^{2}+{\frac {c^{2}-1}{h^{2}}}+{\frac {2mu}{h^{2}}}+2mu^{3}.$

Résolvant cette équation différentielle par rapport à $\scriptstyle u$ et négligeant $\scriptstyle h^{2}u^{3}$ qui est de l’ordre de $\scriptstyle 10^{-8}$ on retrouve la loi de Newton :

$u={\frac {m}{h^{2}}}[1+e\cos(\varphi -\omega )].$

Portant cette valeur de $u$ dans l’équation précédente et recommençant on obtient ainsi, par approximations successives, la valeur

$u={\frac {m}{h^{2}}}[1+e\cos(\varphi -\omega -\delta \omega )].$