223
CHAPITRE III.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\\[1ex]\mathrm {Q} &={\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\\[1ex]\mathrm {R} &={\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\\[1ex]\mathrm {S} &={\frac {\pi ^{8}}{2.3.4.5.6.7.8.9}}\\[1.5ex]&\qquad \quad \mathrm {etc.} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a191b6d2c1c20f3844c04bb3f746dc165bfcab6a)
213.
Supposons maintenant que
etc. représentent
les sommes de produits différents que l’on peut faire avec
les fractions
etc., dont on aura séparé la
fraction
étant un nombre entier quelconque ; il s’agit
de déterminer
etc., au moyen de
etc.
Si l’on désigne par
etc., les
produits des facteurs
![{\displaystyle \left(1-{\frac {q}{1^{2}}}\right)\left(1-{\frac {q}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {q}{3^{2}}}\right)\left(1-{\frac {q}{4^{2}}}\right)\dots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4c24352a95f57e0b4641933535a444ab105538)
parmi lesquels on aurait omis le seul facteur
il faudra
qu’en multipliant par
la quantité
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1-q\mathrm {P} _{n}+q^{2}\mathrm {Q} _{n}-q^{3}\mathrm {R} _{n}+q^{4}\mathrm {S} _{n}-\mathrm {etc.} ,\\[2ex]\mathrm {on} \;\mathrm {trouve} \quad &1-q\mathrm {P} +q^{2}\mathrm {Q} -q^{3}\mathrm {R} +q^{4}\mathrm {S} -\mathrm {etc} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9d9f068148bc5563f68aeb8208cbda569eac88)