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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Cette comparaison donne les relations suivantes :

${\begin{array}{rl}\qquad \qquad &\mathrm {P} _{n}+{\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {P} \\\qquad \qquad &\mathrm {Q} _{n}+\mathrm {P} _{n}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {Q} \\\qquad \qquad &\mathrm {R} _{n}+\mathrm {Q} _{n}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {R} \\\qquad \qquad &\mathrm {S} _{n}+\mathrm {R} _{n}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}=\mathrm {S} \\\qquad \qquad &\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {etc.} \\\end{array}}$

${\begin{array}{rl}\qquad \quad \mathrm {ou} &\mathrm {P} _{n}=\mathrm {P} -{\frac {1}{n^{2}}}\\&\mathrm {Q} _{n}=\mathrm {Q} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {P} +{\frac {1}{n^{4}}}\\&\mathrm {R} _{n}=\mathrm {R} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {Q} +{\frac {1}{n^{4}}}\mathrm {P} -{\frac {1}{n^{6}}}\\&\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} -{\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {R} +{\frac {1}{n^{4}}}\mathrm {Q} -{\frac {1}{n^{6}}}\mathrm {P} +{\frac {1}{n^{8}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {etc.} \\\end{array}}$

En employant les valeurs connues de $\mathrm {P} \,\mathrm {Q} \,\mathrm {R} \,\mathrm {S} ,$ et faisant successivement $n=1,\,2,\,3,\,4,\,5\dots$ etc., on aura les valeurs de $\mathrm {P} _{1}\,\mathrm {Q} _{1}\,\mathrm {R} _{1}\,\mathrm {S} _{1}\dots$ etc. ; celles de $\mathrm {P} _{2}\,\mathrm {Q} _{2}\,\mathrm {R} _{2}\,\mathrm {S} _{2}\dots$ etc. ; celles de $\mathrm {P} _{3}\,\mathrm {Q} _{3}\,\mathrm {R} _{3}\,\mathrm {S} _{3}\dots$ etc.

214.

Il résulte de tout ce qui précède que les valeurs de $a\,b\,c\,d\,e\dots$ etc., déduites des équations

${\begin{aligned}a+2\;\,b+3\;\,c+4\;\,d+5\;\,e+\mathrm {etc.} &=\mathrm {A} \\a+2^{3}b+3^{3}c+4^{3}d+5^{3}e+\mathrm {etc.} &=\mathrm {B} \\a+2^{5}b+3^{5}c+4^{5}d+5^{5}e+\mathrm {etc.} &=\mathrm {C} \\a+2^{7}b+3^{7}c+4^{7}d+5^{7}e+\mathrm {etc.} &=\mathrm {D} \\a+2^{9}b+3^{9}c+4^{9}d+5^{9}e+\mathrm {etc.} &=\mathrm {E} \\\mathrm {etc.} \qquad \qquad \qquad &\\\end{aligned}}$