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CHAPITRE VII.

valeurs possibles qui sont ${\tfrac {\varepsilon _{1}}{l}},$ ${\tfrac {\varepsilon _{2}}{l}},$ ${\tfrac {\varepsilon _{3}}{l}}$ etc. Désignant par $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ etc., $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ etc. des coëfficients constants, on exprimera la valeur de $v$ par l’équation suivante :

${\begin{aligned}v&=\left(a_{1}e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{1}^{2}}}}.\cos .n_{1}y+a_{2}e^{-x{\sqrt {n_{2}^{2}+n_{1}^{2}}}}.\cos .n_{2}y+\mathrm {etc.} \right)b_{1}\cos .n_{1}z\\&+\left(a_{1}e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}}.\cos .n_{1}y+a_{2}e^{-x{\sqrt {n_{2}^{2}+n_{2}^{2}}}}.\cos .n_{2}y+\mathrm {etc.} \right)b_{2}\cos .n_{2}z\\&+\left(a_{1}e^{-x{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{3}^{2}}}}.\cos .n_{1}y+a_{2}e^{-x{\sqrt {n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}}.\cos .n_{2}y+\mathrm {etc.} \right)b_{3}\cos .n_{3}z\\&+\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

323.

Si l’on suppose maintenant la distance $x$ nulle, il faudra que chaque point de la section A conserve une température constante. Il est donc nécessaire qu’en faisant $x=0,$ la valeur de $v$ soit toujours la même, quelque valeur que l’on puisse donner à $y,$ ou à $z\,;$ pourvu que ces valeurs soient comprises entre 0 et $l.$ Or en faisant $l=0,$ on trouve

${\begin{alignedat}{5}v={}&(a_{1}\cos .n_{1}y&{}+{}&a_{2}\cos .n_{2}y&{}+{}&a_{3}\cos .n_{3}y&{}+{}&\mathrm {etc.} )\\&(b_{1}\cos .n_{1}z&{}+{}&b_{2}\cos .n_{2}z&{}+{}&b_{3}\cos .n_{3}z&{}+{}&\mathrm {etc.} ).\end{alignedat}}$

En désignant par 1 la température constante de l’extrémité A, on prendra les deux équations

${\begin{alignedat}{5}1&=a_{1}\cos .n_{1}y&{}+{}&a_{2}\cos .n_{2}y&{}+{}&a_{3}\cos .n_{3}y&{}+{}&\mathrm {etc.} \\1&=b_{1}\cos .n_{1}z&{}+{}&b_{2}\cos .n_{2}z&{}+{}&b_{3}\cos .n_{3}z&{}+{}&\mathrm {etc.} \end{alignedat}}$

Il suffit donc de déterminer les coëfficients $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4}$ etc., dont le nombre est infini, en sorte que le second membre de l’équation soit toujours égal à l’unité. On a résolu