Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/430

398

THÉORIE DE LA CHALEUR.

précédemment cette question dans le cas où les nombres $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, etc. forment la série des nombres impairs, section II du chapitre III, page 175. Ici les quantités $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, etc. sont des irrationnelles données par une équation d’un degré infiniment élevé.

324.

Posant l’équation

$1=a_{1}\cos .n_{1}y+a_{2}\cos .n_{2}y+a_{3}\cos .n_{3}y+\mathrm {etc.}$

on multipliera les deux membres de l’équation par $\cos .(n_{1}y)\,dy$, et l’on prendra l’intégrale depuis $y=0$ jusqu’à $y=l$. On déterminera ainsi le premier coëfficient $a_{1}$. On suivra un procédé semblable pour déterminer les coëfficients suivants. En général, si l’on multiplie les deux membres de l’équation par $\cos .\nu y,$ et que l’on intègre, on aura pour un seul terme du second membre qui serait représenté par $a\cos .ny$ l’intégrale,

${\begin{array}{c}\displaystyle a\int \left(\cos .ny.\cos .\nu y\,dy\right)\;\mathrm {ou} \;{\frac {1}{2}}a\int \cos .{\overline {n-\nu }}.y\,dy+{\frac {1}{2}}a\int \cos .{\overline {n+\nu }}.y\,dy\\\displaystyle \mathrm {ou} \;\;{\frac {a}{2}}\left({\frac {1}{n-\nu }}.\sin .{\overline {n-\nu }}.y+{\frac {1}{n+\nu }}.\sin .{\overline {n+\nu }}.y\right),\;\mathrm {et} \;\mathrm {faisant} \;y=l,\\\displaystyle {\frac {a}{2}}\left({\frac {{\overline {n+\nu }}.\sin {\overline {n-\nu }}.l+{\overline {n-\nu }}.\sin {\overline {n+\nu }}.l}{n^{2}-\nu ^{2}}}\right)\cdot \\\end{array}}$