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THÉORIE DE LA CHALEUR.

334.

Pour exprimer l’état de la surface, on emploiera les équations suivantes :

${\begin{aligned}\pm \mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}+hv&=0,\\\pm \mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}+hv&=0,\\\pm \mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}+hv&=0.\qquad \qquad \qquad \qquad ({\boldsymbol {b}})\\\end{aligned}}$

Elles doivent être satisfaites lorsque l’on a $x=\pm a,$ ou $y=\pm a,$ ou $z=\pm a.$ On prend le centre du cube pour l’origine des coordonnées ; et le côté est désigné par $a$.

La première des équations (b) donne

${\begin{aligned}\mp e^{-mt}n\sin .nx\cos .py\cos .qz&+{\frac {h}{\mathrm {K} }}e^{-mt}\cos .nx\cos .py\cos .qz=0,\\\mathrm {ou} \quad \mp n\,\mathrm {tang.} nx&+{\frac {h}{\mathrm {K} }}=0,\end{aligned}}$

équation qui doit avoir lieu lorsque $x=\pm a$.

Il en résulte que l’on ne peut pas prendre pour $n$ une valeur quelconque, mais que cette quantité doit satisfaire à la condition $n\,a\,\mathrm {tang.} na={\frac {h}{\mathrm {K} }}a.$ Il faut donc résoudre l’équation déterminée $\varepsilon \,\mathrm {tang.} \varepsilon ={\frac {h}{\mathrm {K} }}a,$ ce qui donnera la valeur de $\varepsilon$, et l’on prendra $n={\frac {\varepsilon }{a}}$. Or l’équation en $\varepsilon$ a une infinité de racines réelles ; donc on pourra trouver pour $n$ une infinité de valeurs différentes. On connaîtra de la même manière les valeurs que l’on peut donner à $p$ et à $q$ ; elles sont toutes représentées par la construction que l’on a em-