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CHAPITRE VIII.

ployée dans la question précédente, art. (321). Nous désignerons ces racines par $n_{1},$ $n_{2},$ $n_{3},$ $n_{4}$ etc. Ainsi l’on pourra donner à $v$ la valeur particulière exprimée par l’équation

$v=e^{-kt(n^{2}+p^{2}+q^{2})}\,\cos .nx.\cos .py.\cos .qz,$

pourvu que l’on mette au lieu de $n,$ une des racines $n_{1},$ $n_{2},$ $n_{3},$ $n_{4}$ etc., et qu’il en soit de même de $p$ et de $q$.

335.

On peut former ainsi une infinité de valeurs particulières de $v$, et il est visible que la somme de plusieurs de ces valeurs satisfera aussi à l’équation différentielle ($a$) et aux équations déterminées ($b$). Pour donner à $v$ la forme générale que la question exige, on réunira un nombre indéfini de termes semblables à celui-ci :

$a\,e^{-kt(n^{2}+p^{2}+q^{2})}.\cos .nx\,\cos .py\,\cos .qz.$

Nous exprimerons cette valeur de v par l’équation suivante :

${\begin{aligned}v=&\left(a_{1}\cos .n_{1}x\,e^{-kn_{1}^{2}t}+a_{2}\cos .n_{2}x\,e^{-kn_{2}^{2}t}+a_{3}\cos .n_{3}x\,e^{-kn_{3}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right)\\&\left(\cos .n_{1}y\,e^{-kn_{1}^{2}t}+\cos .n_{2}y\,e^{-kn_{2}^{2}t}+\cos .n_{3}y\,e^{-kn_{3}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right)\\&\left(\cos .n_{1}z\,e^{-kn_{1}^{2}t}+\cos .n_{2}z\,e^{-kn_{2}^{2}t}+\cos .n_{3}z\,e^{-kn_{3}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right)\\\end{aligned}}$

Le second membre doit se former du produit des trois facteurs écrits dans les trois lignes horizontales, et les quantités $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc. sont des coëfficients inconnus. Or, selon l’hypothèse, si l’on fait $t=0$, la température doit être la