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THÉORIE DE LA CHALEUR.
aura
![{\displaystyle \quad v=\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}d\alpha \,f\alpha .{\frac {e^{\frac {-(\alpha -x)^{2}}{4\,t}}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}\qquad ({\boldsymbol {i}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff1d5e318c3d1b678f30dc694932a56556a8121)
ou
![{\displaystyle \quad v={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dq\,e^{-q^{2}}\,f(x+2q{\sqrt {t}}).\qquad ({\boldsymbol {i}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbddda18ed6407bcbcadc9bfe282ad7b4f938f29)
On voit par-là comment l’emploi des valeurs particulières
![{\displaystyle e^{-n^{2}t}\,\cos .nx\qquad \mathrm {ou} \qquad {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\,t}}}}{\sqrt {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8d959e6de07efa5f10f3967a74ae4d173258ad)
conduit à l’intégrale sous forme finie.
375.
La relation qu’ont entre elles ces deux valeurs particulières,
se découvre lorsqu’on détermine l’intégrale
![{\displaystyle \int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035bacc2a756d1e86926327bb60111a919a6197d)
Pour effectuer l’intégration, on pourrait développer le facteur
et intégrer par rapport à
On obtient ainsi
une série qui représente un développement connu ; mais on
déduit plus facilement ce résultat de l’analyse suivante.
L’intégrale
se rapporte à celle-ci :
![{\displaystyle \int dp\,e^{-p^{2}}\,\cos .2pu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99410d3687b70fdc9a99f3ce3b3b8f8b04969aa9)
en supposant
et
On a ainsi
![{\displaystyle \int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dn\,e^{-n^{2}t}\,\cos .nx={\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{-{\tfrac {1}{0}}}^{+{\tfrac {1}{0}}}dp\,e^{-p^{2}}\,\cos .2pu.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751d1f07ae539a0884086f6eca970171fe0e35eb)
On écrira maintenant