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SUR
LA THÉORIE DES NOMBRES (^[1]).

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Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantités qui, dans les calculs algébriques, se trouvent multipliées par un nombre premier donné $p$, et qu’on cherche, dans cette convention, les solutions d’une équation algébrique $\mathrm {F} x=0$, ce que M. Gauss désigne par la notation $\mathrm {F} x\equiv 0$, on n’a coutume de considérer que les solutions entières de ces sortes de questions. Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats que je crois nouveaux.

Soit une pareille équation ou congruence, $\mathrm {F} x=0$, et $p$ le module. Supposons d’abord, pour plus de simplicité, que la congruence en question n’admette aucun facteur commensurable, c’est-à-dire qu’on ne puisse pas trouver trois fonctions $\varphi x$, $\psi x$, $\chi x$ telles que

$\varphi x.\psi x=\mathrm {F} x+p.\chi x$.

Dans ce cas, la congruence n’admettra donc aucune racine entière, ni même aucune racine incommensurable de degré inférieur. Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme des espèces de symboles imaginaires, puisqu’elles ne satisfont pas aux questions des nombres entiers, symboles dont l’emploi, dans le calcul, sera souvent aussi utile que celui de l’imaginaire ${\sqrt {-1}}$ dans l’analyse ordinaire.

C’est la classification de ces imaginaires, et leur réduction au plus petit nombre possible, qui va nous occuper.

Appelons $i$ l’une des racines de la congruence $\mathrm {F} x=0$, que nous supposerons du degré $\nu$.

Considérons l’expression générale

(A)	$a+a_{1}i+a_{2}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1},$

1. Bulletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, t. XIII, p. 428 (année 1830, cahier de juin) ; avec la note suivante : « Ce Mémoire fait partie des recherches de M. Galois sur la théorie des permutations et des équations algébriques. »(J. Liouville.)