où représentent des nombres entiers. En donnant à ces nombres toutes les valeurs, l’expression (A) en acquiert , qui jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des mêmes propriétés que les nombres naturels dans la théorie des résidus des puissances.
Ne prenons des expressions (A) que les valeurs où ne sont pas toutes nulles : soit l’une de ces expressions.
Si l’on élève successivement aux puissances 2e, 3e, …, on aura une suite de quantités de même forme [parce que toute fonction de peut se réduire au ()ième degré]. Donc on devra avoir , étant un certain nombre ; soit le plus petit nombre qui soit tel que l’on ait . On aura un ensemble de expressions, toutes différentes entre elles,
Multiplions ces quantités par une autre expression de la même forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les quantités (A) ne sont pas épuisées, on multipliera encore les puissances de par une nouvelle expression , et ainsi de suite. On voit donc que le nombre divisera nécessairement le nombre total des quantités (A). Ce nombre étant , on voit que divise . De là suit encore que l’on aura
Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu’il y a des racines primitives pour lesquelles on ait précisément , et qui reproduisent par conséquent, par l’élévation aux puissances, toute la suite des autres racines.
Et l’une quelconque de ces racines primitives ne dépendra que d’une congruence du degré , congruence irréductible, sans quoi l’équation en ne le serait pas non plus, parce que les racines de la congruence en sont toutes des puissances de la racine primitive.
On voit ici cette conséquence remarquable que toutes les quantités algébriques qui peuvent se présenter dans la théorie sont racines d’équations de la forme
