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dans laquelle ${\frac {k}{l}}$ peut avoir les $p+1$ valeurs

$\infty ,0,1,2,\ldots ,p-1$

Ainsi, en convenant que $k$ peut être infini, on peut écrire simplement

$x_{k},\;x_{\frac {ak+b}{ck+d}}.$

En donnant à $a,b,c,d$ toutes les valeurs, on obtient

$(p+1)p(p-1)\;$ permutations.

Or ce groupe se décompose proprement en deux groupes, dont les substitutions sont

$x_{k},\;x_{\frac {ak+b}{ck+d}}.$

$ad-bc$ étant un résidu quadratique de $p$.

Le groupe ainsi simplifié est de

$(p+1)p{\frac {p-1}{2}}\;$ permutations.

Mais il est aisé de voir qu’il n’est plus décomposable proprement, à moins que $p=2$, ou $p=3$.

Ainsi, de quelle manière que l’on transforme l’équation, son groupe aura toujours le même nombre de permutations.

Mais il est curieux de savoir si le degré peut s’abaisser.

Et d’abord il ne peut s’abaisser plus bas que $p$, puisqu’une équation de degré moindre que $p$ ne peut avoir $p$ pour facteur dans le nombre des permutations de son groupe.

Voyons donc si l’équation de degré $p+1$, dont les racines $x_{k}$ s’indiquent en donnant à $k$ toutes les valeurs, y compris l’infini, et dont le groupe a pour substitutions

$x_{k},\;x_{\frac {ak+b}{ck+d}}.$

$ad-bc$ étant un carré, peut s’abaisser au degré $p$. Or il faut pour cela que le groupe se décompose (improprement, s’entend) en $p$ groupes de $(p+1){\frac {p-1}{2}}$ permutations chacun.