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Application aux équations irréductibles de degré premier.
PROPOSITION VI.
Lemme. — Une équation irréductible de degré premier ne
peut devenir réductible par l’adjonction d’un radical dont l’indice serait autre que le degré même de l’équation.
Car si sont les diverses valeurs du radical, et l’équation proposée, il faudrait que se partageât en
facteurs
tous de même degré, ce qui ne se peut, à moins que ne soit du premier degré en .
Ainsi, une équation irréductible de degré premier ne peut
devenir réductible, à moins que son groupe ne se réduise à une
seule permutation.
PROPOSITION VII.
Problème. — Quel est le groupe d’une équation irréductible
d’un degré premier , soluble par radicaux ?
D’après la proposition précédente, le plus petit groupe possible,
avant celui qui n’a qu’une seule permutation, contiendra permutations. Or, un groupe de permutations d’un nombre premier n de lettres ne peut se réduire à n permutations, à moins que l’une de ces permutations ne se déduise de l’autre par une
substitution circulaire de l’ordre . (Voir le Mémoire de M. Cauchy, Journal de l’École Polytechnique, XVIIe cahier.) Ainsi, l’avant-dernier groupe sera
(G)
étant les racines.