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Maintenant, le groupe qui précédera immédiatement celui-ci dans l’ordre des décompositions devra se composer d’un certain nombre de groupes ayant tous les mêmes substitutions que celui-ci. Or, j’observe que ces substitutions peuvent s’exprimer ainsi (faisons, en général, $x_{n}=x_{0},x_{n+1}=x_{1},\ldots ;$ il est clair que chacune des substitutions du groupe $(\mathrm {G} )$ s’obtient en mettant partout à la place de $x_{k}$, $x_{k+c}$, $c$ étant une constante).

Considérons l’un quelconque des groupes semblables au groupe $(\mathrm {G} ).$ D’après le théorème II, il devra s’obtenir en opérant partout dans ce groupe une même substitution ; par exemple, en mettant partout dans le groupe $(\mathrm {G} ),$ à la place de $x_{k}$, $x_{f(k)}$, $f$ étant une certaine fonction.

Les substitutions de ces nouveaux groupes devant être les mêmes que celles du groupe $(\mathrm {G} ),$ on devra avoir

$f(k+c)=f(k)+\mathrm {C}$

$\mathrm {C}$ étant indépendant de $k$.

Donc

${\begin{aligned}f(k+2c)=&f(k)+2\mathrm {C} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\f(k+mc)=&f(k)+m\mathrm {C} .\end{aligned}}$

Si $c=1,k=0$, on trouvera

$f(m)=am+b$

ou bien

$f(k)=ak+b$

$a$ et $b$ étant des constantes.

Donc, le groupe qui précède immédiatement le groupe $(\mathrm {G} )$ ne devra contenir que des substitutions telles que

$x_{k},x_{ak+b},$

et ne contiendra pas, par conséquent, d’autre substitution circulaire que celle du groupe $(\mathrm {G} ).$