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Le premier est écrit semble indiquer que les autres ne sont pas rédigés. On pourra faire avec tout cela trois Mémoires porte à penser que Galois laissait des notes, dont on ne peut plus espérer aujourd’hui qu’elles soient retrouvées. Une seule chose est certaine, c’est que, la veille de sa mort, il avait tout cela dans sa tête.

Le cahier est du format 20 × 15 ; on lit sur la couverture : Notes de mathématiques, quatorze pages, seulement, sont utilisées. On trouve dans ce cahier et, parfois, sur la même page, deux sortes d’écriture : pour l’une, il n’y a pas de doute, c’est bien celle de Galois, avec son allure habituelle. L’autre, beaucoup moins lisible, est droite. Je me suis demandé si Galois ne s’était pas amusé à déformer son écriture ; mais M. Paul Dupuy, après un examen attentif des deux écritures, a constaté qu’elles révélaient des habitudes très différentes : elles ne sont pas de la même personne.

Au reste, ce cahier, par son contenu, n’offre qu’un intérêt médiocre. Les pages qui sont de Galois contiennent quelques remarques sur les asymptotes des courbes algébriques et un court essai sur les principes de l’Analyse, dont je citerai quelques lignes ; elles caractérisent un état d’esprit qui résultait sans doute de l’enseignement que Galois avait reçu ; on n’oubliera pas qu’il n’était sans doute alors qu’un écolier, un écolier qui, peut-être, avait approfondi déjà des problèmes singulièrement difficiles.

Après avoir expliqué comment il juge la méthode de Lagrange, où le développement de Taylor tient le rôle essentiel, préférable à la méthode qui consiste à partir de la notion de dérivée considérée comme la limite de l’expression

${\frac {f(\mathrm {X} )-f(x)}{\mathrm {X} -x}}$,

limite qui ne peut être constamment nulle ou infinie, et comment le raisonnement de Lagrange ne tient pas debout, il propose de lui substituer le suivant :

Considérons d’abord une fonction $\varphi (z)$ qui devienne nulle pour la valeur 0 de la variable. Je dis que l’on pourra toujours déterminer un seul nombre positif et fini $n$ de manière que ${\frac {\varphi (z)}{z^{n}}}$ ne soit ni nulle ni infinie, à moins que ${\frac {\varphi (z)}{z^{n}}}$ ne soit nul quand $z=0$, pour toute valeur finie de $n$.