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Ces vingt lignes peuvent être regardées comme un résumé de la célèbre « Démonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendantes »^[1], qui est datée de 1829 ; elles occupent les deux tiers de la première page d’une feuille double de même format (30 × 15) que la lettre à Chevalier. On lit en haut de la page :

Théorie des fonctions de la forme $\int \mathrm {X} \,\mathrm {d} x$, $\mathrm {X}$ étant une fonction algébrique de $x$.

Les mots « fonctions de la… », jusqu’à la fin, sont biffés et Galois a écrit au-dessus

intégrales dont les différentielles est algébrique.

Le premier titre est presque identique à ceux qui ont été signalés précédemment (p. 17 et p. 23). dont l’un porte la mention « septembre 1831 ». L’énoncé du théorème d’Abel (qui n’est pas nommé) est précédé des mots « Lemme fondamental ». Après la démonstration on lit

Remarque. Dans le cas où

Le reste de la page, les deux pages qui suivent sont en blanc^[2]. Ces quelques lignes sont-elles tout ce qui reste du troisième Mémoire qui concerne les intégrales, que Galois résume dans la lettre à Chevalier ? Ce troisième Mémoire a-t-il été rédigé ? Je rappelle quelques termes de la lettre

On pourra faire avec tout cela trois Mémoires.

Le premier est écrit, et… je le maintiens…

…tout ce que j’ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête.

1. Œuvres d’Abel, édition Sylow, t. I, p. 515.
2. La feuille a été pliée ; sur la moitié de la quatrième page, on trouve quelques calculs relatifs à l’intégrale
   $\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x(x^{2}-2\alpha x+\gamma ^{2})(x^{2}-2\beta x+\gamma ^{2})}}}$,

   
   où Galois fait la substitution

   $x+{\frac {\gamma ^{2}}{x}}=2z$.