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K ^[1]

Soit donc $\varphi (\mathrm {H} )$ une certaine fonction invariable par les substitutions du groupe H et non par celles du groupe G. On aura donc

$\varphi (\mathrm {H} )=f(r)$

la fonction $f$ ne contenant dans son expression que les quantités antérieurement connues.

Éliminons algébriquement $r$ entre les équations

$r^{p}=\mathrm {A} \quad f(r)=z$

On aura une équation irréductible du $p^{\text{ième}}$ degré en $z$. (Si non $z$ serait fonction de $r^{p}$ : ce qui est contre l’hypothèse). Maintenant soit S une des substitutions du groupe G qui ne lui soient pas communes à H. On voit que $\varphi (\mathrm {HS} )$ sera encore racine de l’équation ci-dessus en $z$, puisque les coefficients de cette équation sont invariables par la substitution S.

On aura donc

$\varphi (\mathrm {HS} )=f(\alpha r)$

$\alpha$ étant une des racines de l’unité.

Ces deux équations

$\varphi (\mathrm {H} )=f(r)\quad \varphi (\mathrm {HS} )=f(\alpha r)$

Donneront par l’élimination de $r$ une relation entre

$\varphi (\mathrm {H} )\quad \varphi (\mathrm {HS} )\quad {\text{et}}\quad \alpha$

indépendante de $r$, et la même relation aura par conséquent lieu entre

$\varphi (\mathrm {H} )\quad {\text{et}}\quad \varphi (\mathrm {HS} ^{2})$

Donc : comme

$\varphi (\mathrm {HS} )=f(\alpha r)$

on en déduit

$\varphi (\mathrm {HS} ^{2})=f(\alpha ^{2}r)$

1. Feuille déchirée (18 × 17), écrite sur les deux faces.