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Note 1.

sur l’intégration des équations linéaires.

Soit l’équation linéaire à coefficients variables

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{n-2}y}{dx^{n-2}}}\ldots +\mathrm {S} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {T} y=\mathrm {V}$

Pour l’intégrer supposons que nous connaissions $n$ solutions

$y=u_{1}\quad ,=u_{2},=u_{3},\ldots ,=u_{n}$

de cette équation privée de second membre. La solution complète

$y=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+\alpha _{3}u_{3}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}$

qui convient à l’équation privée de second membre, satisfera encore quand on supposera ce second membre, si au lieu de regarder $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n}$ comme constantes, on les considère comme déterminés par les équations suivantes en ${\frac {dx_{1}}{dx}},{\frac {dx_{2}}{dx}},\ldots {\frac {dx_{n}}{dx}}$

(1)${\begin{cases}&\qquad \qquad u_{1}{\frac {d\alpha _{1}}{dx}}+u_{2}{\frac {d\alpha _{2}}{dx}}+u_{3}{\frac {d\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +u_{n}{\frac {d\alpha _{n}}{dx}}=0\\&{\frac {d\,u_{1}}{dx}}\cdot {\frac {d\,\alpha _{1}}{dx}}+{\frac {d\,u_{2}}{dx}}\cdot {\frac {d\,\alpha _{2}}{dx}}+{\frac {d\,u_{3}}{dx}}{\frac {d\,\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +{\frac {d\,u_{n}}{dx}}{\frac {d\,\alpha _{n}}{dx}}=0\\&{\frac {d^{2}u_{1}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {d\alpha _{1}}{dx}}+{\frac {d^{2}u_{2}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {d\alpha _{2}}{dx}}+{\frac {d^{2}u_{3}}{dx^{2}}}{\frac {d\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +{\frac {d^{2}u_{n}}{dx^{2}}}{\frac {d\alpha _{n}}{dx}}=0\\&\qquad \qquad \ldots \ldots \\&{\frac {d^{n-1}u_{1}}{dx^{n-1}}}\cdot {\frac {d\alpha _{1}}{dx}}+{\frac {d^{n-1}u_{2}}{dx^{n-1}}}{\frac {d\alpha _{2}}{dx}}+{\frac {d^{n-1}u_{3}}{dx^{n-1}}}{\frac {d\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +{\frac {d^{n-1}u_{n}}{dx^{n-1}}}{\frac {d\alpha _{n}}{dx}}=\mathrm {V} \end{cases}}$

Il importe d’abord de reconnaître si le dénominateur commun aux valeurs tirées de ces équations peut ou non être nul.

Pour cela j’observe que ce dénominateur est le même que celui

1. Deux pages et demie d’une feuille double (23 × 18).