P
[1]
Note 1.
sur l’intégration des équations linéaires.
Soit l’équation linéaire à coefficients variables
![{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{n-2}y}{dx^{n-2}}}\ldots +\mathrm {S} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {T} y=\mathrm {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6255f46c3802d5df17cd50d1902eb012ff4457f1)
Pour l’intégrer supposons que nous connaissions
solutions
![{\displaystyle y=u_{1}\quad ,=u_{2},=u_{3},\ldots ,=u_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0dcd3a4590683efcf2fa4472f9b00bd24fd1e4)
de cette équation privée de second membre. La solution complète
![{\displaystyle y=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+\alpha _{3}u_{3}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7018d24ec688f905eed061459a0a38105e8f24)
qui convient à l’équation privée de second membre, satisfera encore quand on supposera ce second membre, si au lieu de regarder
comme constantes, on les considère comme déterminés par les équations suivantes en ![{\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dx}},{\frac {dx_{2}}{dx}},\ldots {\frac {dx_{n}}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f59cdefeb47f79a50631c2622f89e5b512cd56)
(1)
![{\displaystyle {\begin{cases}&\qquad \qquad u_{1}{\frac {d\alpha _{1}}{dx}}+u_{2}{\frac {d\alpha _{2}}{dx}}+u_{3}{\frac {d\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +u_{n}{\frac {d\alpha _{n}}{dx}}=0\\&{\frac {d\,u_{1}}{dx}}\cdot {\frac {d\,\alpha _{1}}{dx}}+{\frac {d\,u_{2}}{dx}}\cdot {\frac {d\,\alpha _{2}}{dx}}+{\frac {d\,u_{3}}{dx}}{\frac {d\,\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +{\frac {d\,u_{n}}{dx}}{\frac {d\,\alpha _{n}}{dx}}=0\\&{\frac {d^{2}u_{1}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {d\alpha _{1}}{dx}}+{\frac {d^{2}u_{2}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {d\alpha _{2}}{dx}}+{\frac {d^{2}u_{3}}{dx^{2}}}{\frac {d\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +{\frac {d^{2}u_{n}}{dx^{2}}}{\frac {d\alpha _{n}}{dx}}=0\\&\qquad \qquad \ldots \ldots \\&{\frac {d^{n-1}u_{1}}{dx^{n-1}}}\cdot {\frac {d\alpha _{1}}{dx}}+{\frac {d^{n-1}u_{2}}{dx^{n-1}}}{\frac {d\alpha _{2}}{dx}}+{\frac {d^{n-1}u_{3}}{dx^{n-1}}}{\frac {d\alpha _{3}}{dx}}+\ldots +{\frac {d^{n-1}u_{n}}{dx^{n-1}}}{\frac {d\alpha _{n}}{dx}}=\mathrm {V} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fed20ffe582525db0b33e952c91138ad73544c)
Il importe d’abord de reconnaître si le dénominateur commun aux valeurs tirées de ces équations peut ou non être nul.
Pour cela j’observe que ce dénominateur est le même que celui
- ↑ Deux pages et demie d’une feuille double (23 × 18).