et enfin
![{\displaystyle \cos \mathrm {POM} ={\frac {m+m''\cos \theta '+m'\cos \theta ''}{\mathrm {OP} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347e1fdc27cfb9d3ff018bb2169922652546212d)
On trouvera de même pour les cosinus des angles
et
![{\displaystyle {\frac {m'+m''\cos \theta +m\cos \theta ''}{\mathrm {OP} }}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {m''+m'\cos \theta +m\cos \theta '}{\mathrm {OP} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246c40e7d39bbe20ef235d8d01954413830437e6)
Le problème est donc résolu.
Problème. Trouver pour des axes quelconques la condition de perpendicularité d’une droite et d’un plan.
Prennons à partir de l’origine et suivant certaine direction
. Appelons
les coordonnées du point
. Les équations de toute droite parallèle à
, seront de la forme
![{\displaystyle {\frac {x-a}{m}}={\frac {y-b}{m'}}={\frac {z-c}{m''}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d63593fa9beebb64b2967b3ba50448accb412e6)
Les quantités
étant liées par la relation
![{\displaystyle 1=m^{2}+m'^{2}+m''^{2}+2m'm''\cos \theta +2mm''\cos \theta '+2mm'\cos \theta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3220bd36fd4ee1971c4ec1472e4053a6d2e27f)
Cherchons de même l’équation d’un plan perpendiculaire à
.
Il est évident que si on appelle
les coordonnées de ce plan, et que l’on projette orthogonalement sur
ces coordonnées la somme des projections devra être constante. Or on connaît, par le problème précédent, les cosinus des angles de la droite
avec les axes. L'équation du plan sera donc.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(m+m'\cos \theta ''+m''\cos \theta ')x&+(m'+m\cos \theta ''+m''\cos \theta )y\\&+(m''+m\cos \theta '+m'\cos \theta )z+p=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985d17677ad0c8c9ab94adaae02e006ff6594f5b)
Et il est remarquable que le premier membre de cette équation exprime aussi la distance à ce plan d’un point quelconque dont les coordonnées sont
. Ce qui est evident puisque ce premier membre n’est autre chose que la somme des projections des coordonnées d’un point sur la droite
, augmentée de la distance du plan à l’origine.
Celà posé, soit l’équation d’une surface du second degré rapportée à des axes obliques
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{2}+\mathrm {A} 'y^{2}+\mathrm {A} ''z^{2}+2\mathrm {B} yz+2\mathrm {B} 'xz+2\mathrm {B} ''xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c1ddabbbc224841dbf6202a42b5168665f6770)
![{\displaystyle +2\mathrm {C} x+2\mathrm {C} 'y+2\mathrm {C} ''z+\mathrm {D} =\varphi (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f8a726e009adce5143a044fa5658cc32ab6020)