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et enfin

$\cos \mathrm {POM} ={\frac {m+m''\cos \theta '+m'\cos \theta ''}{\mathrm {OP} }}$

On trouvera de même pour les cosinus des angles $\mathrm {M'OP}$ et $\mathrm {M''OP}$

${\frac {m'+m''\cos \theta +m\cos \theta ''}{\mathrm {OP} }}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {m''+m'\cos \theta +m\cos \theta '}{\mathrm {OP} }}$

Le problème est donc résolu.

Problème. Trouver pour des axes quelconques la condition de perpendicularité d’une droite et d’un plan.

Prennons à partir de l’origine et suivant certaine direction $\mathrm {OP} =1$. Appelons $m,m',m''$ les coordonnées du point $\mathrm {P}$. Les équations de toute droite parallèle à $\mathrm {OP}$, seront de la forme

${\frac {x-a}{m}}={\frac {y-b}{m'}}={\frac {z-c}{m''}}$

Les quantités $m,m',m''$ étant liées par la relation

$1=m^{2}+m'^{2}+m''^{2}+2m'm''\cos \theta +2mm''\cos \theta '+2mm'\cos \theta ''$

Cherchons de même l’équation d’un plan perpendiculaire à $\mathrm {OP}$.

Il est évident que si on appelle $x,y,z$ les coordonnées de ce plan, et que l’on projette orthogonalement sur $\mathrm {OP}$ ces coordonnées la somme des projections devra être constante. Or on connaît, par le problème précédent, les cosinus des angles de la droite $\mathrm {OP}$ avec les axes. L'équation du plan sera donc.

${\begin{aligned}(m+m'\cos \theta ''+m''\cos \theta ')x&+(m'+m\cos \theta ''+m''\cos \theta )y\\&+(m''+m\cos \theta '+m'\cos \theta )z+p=0\end{aligned}}$

Et il est remarquable que le premier membre de cette équation exprime aussi la distance à ce plan d’un point quelconque dont les coordonnées sont $x,y,z$. Ce qui est evident puisque ce premier membre n’est autre chose que la somme des projections des coordonnées d’un point sur la droite $\mathrm {OP}$, augmentée de la distance du plan à l’origine.

Celà posé, soit l’équation d’une surface du second degré rapportée à des axes obliques

$\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {A} 'y^{2}+\mathrm {A} ''z^{2}+2\mathrm {B} yz+2\mathrm {B} 'xz+2\mathrm {B} ''xy$

$+2\mathrm {C} x+2\mathrm {C} 'y+2\mathrm {C} ''z+\mathrm {D} =\varphi (x,y,z)=0$