Lorsqu’on cherche l’équation du plan qui divise également toutes les cordes parallèles à une droite donnée, on substitue l’équation
à la place de
,
![{\displaystyle x+\rho m\quad y+\rho m'\quad z+\rho m''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7cac0f433f7cc7e8905c6533854dd8e7315817)
et les racines de l’équation en
qu’on obtient ainsi, expriment les distances du point (
) aux deux points où une corde parallèle à la droite
menée par le point (
) coupe la surface du second degré. Ces deux distances devant être égales et de signe contraire, il suffira de faire dans l’équation en
le second terme nul pour avoir l’équation du plan diamétral.
Or l’équation en
est en faisant
![{\displaystyle \mathrm {M} =\varphi (m,m',m'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42aed0f3a6334d5fdb5a24d3aabf674a385125c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MP} =&(\mathrm {A} m+\mathrm {B} ''m'+\mathrm {B} 'm'')x+(\mathrm {A} 'm'+\mathrm {B} ''m+\mathrm {B} m'')y\\&+(\mathrm {A} ''m''+\mathrm {B} 'm+\mathrm {B} m')z+\mathrm {C} m+\mathrm {C} 'm'+\mathrm {C} ''m''\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76ae05ffc9abe79ecab41d41ecef0b6334dae52)
de la forme
![{\displaystyle \rho ^{2}+2\mathrm {P\rho +Q} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d05c64206720311d5c4683c313e6307cfc6bd5b)
Si l’on cherche l’équation d’un plan principal, il faudra de plus que le plan représenté par
soit perpendiculaire à la droite
et par conséquent que son équation soit de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}(m+m'\cos \theta ''+m''\cos \theta ')x&+(m'+m\,\cos \theta ''+m''\cos \theta )y\\&+(m''+m\,\cos \theta '+m''\cos \theta )z+p=\mathrm {S} =0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3325a40035ebdf313d2c7632ce92cdf4d189f4)
Il faudra donc que les coefficients de
et ceux de
soient proportionnels et que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {MP}{S}}=const} =s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5141a40102accf60921e43d57900dcf0b9b9a75)
La quantité étant telle que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}(\mathrm {A} \,\ -s)m\ \ +&(\mathrm {B} ''-s\,\cos \theta '')m'&+&(\mathrm {B} '-s\,\cos \theta ')m''&=&0\\(\mathrm {A} '\,-s)m'\ +&(\mathrm {B} ''-s\,\cos \theta '')m\ &+&(\mathrm {B} \ -s\,\cos \theta \ )m''&=&0\\(\mathrm {A} ''-s)m''+&(\mathrm {B} '\ -s\,\cos \theta '\ )m\ &+&(\mathrm {B} \ -s\,\cos \theta \ )m'\ &=&0\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03927967eddb0e6934d279913812ae8495a2466)