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Voyons maintenant si cette élimination est toujours possible ou si elle peut donner une valeur indéterminée ou impossible. Il résulte de la théorie de l’élimination que le second ou le troisième cas aura lieu si, en laissant de côté une des équations

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=0,&\mathrm {Q} &=0,&\mathrm {R} &=0,\ldots ,\end{aligned}}$

on peut déduire des équations conservées une équation identique ou contradictoire à celle que l’on a omise, ou, ce qui revient au même, si l’on peut assigner une fonction linéaire

$\alpha \,\mathrm {P} +\beta \,\mathrm {Q} +\gamma \,\mathrm {R} +\ldots ,$

qui soit identiquement nulle ou qui ne contienne aucune des inconnues. Supposons donc que l’on ait

$\alpha \,\mathrm {P} +\beta \,\mathrm {Q} +\gamma \,\mathrm {R} +\ldots =\varkappa ,$

on a l’équation identique

${\begin{aligned}&(v+m)\,v+(v'+m')\,v'+(v''+m'')\,v''+\ldots \\{}={}&p\,\mathrm {P} +q\,\mathrm {Q} +r\,\mathrm {R} +s\,\mathrm {S} +\ldots .\end{aligned}}$

Si l’on suppose qu’en faisant

${\begin{aligned}p&=\alpha \,x,&q&=\beta \,x,&r&=\gamma \,x,\ldots ,\end{aligned}}$

les fonctions $v$, $v'$, $v''$, etc., deviennent respectivement

${\begin{aligned}-m+\lambda \,x&,&-m'+\lambda 'x&,&-m''+\lambda ''x&,\ldots ,\end{aligned}}$

on aura l’équation identique

$(\lambda ^{2}+{\lambda '}^{2}+{\lambda ''}^{2}+\ldots )\,x^{2}-(\lambda \,m+\lambda 'm'+\lambda ''m''+\ldots )\,x=\varkappa \,x,$

et, par suite,

${\begin{aligned}\lambda ^{2}+{\lambda '}^{2}+{\lambda ''}^{2}+\ldots &=0,&\varkappa +\lambda \,m+\lambda 'm'+\lambda ''m''+\ldots &=0,\end{aligned}}$

d’où résulte

${\begin{aligned}\lambda &=0,&\lambda '&=0,&\lambda ''&=0,\ldots ,\end{aligned}}$

et, par suite,

$\varkappa =0\,;$