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NOTE V.

SUR LA DÉTERMINATION CHRONOMÉTRIQUE DES LONGITUDES.

(Astronomische Nachrichten, tome V, page 227.)

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Soient $\theta$, $\theta '$, $\theta ''$, etc., les époques (au nombre de $n$), auxquelles un chronomètre a accusé les différences $a$, $a'$, $a''$, etc., avec les temps des lieux dont les longitudes sont $x$, $x'$, $x''$, etc., $\theta$, $\theta '$, $\theta ''$, etc., étant supposées réduites au temps d’un seul et même lieu et $u$ désignant l’avance journalière du chronomètre ; on aurait, si l’instrument était parfaitement régulier, les équations

$a-\theta \,u-x=a'-\theta 'u-x'=a''-\theta ''u-x''=\ldots .$

Pour que ces équations suffisent à la détermination des inconnues $x$, $x'$, $x'',\ldots$, $u$, il faut, d’une part, considérer l’une des longitudes comme donnée, et, d’autre part, il est nécessaire que l’on ait observé au moins deux fois dans le même lieu, de telle sorte que deux au moins des inconnues $x$, $x'$, $x''$, etc., soient égales entre elles. Si parmi ces quantités il n’y en a que deux qui soient identiques, le problème est entièrement déterminé ; dans le cas contraire, il devient indéterminé, et l’on doit faire en sorte que les équations

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}0&{}={}a&{}-{}&a'&{}+{}&(\theta '&{}-{}&\theta )&\,u{}-{}&x&{}+{}&x',\\0&{}={}a'&{}-{}&a''&{}+{}&(\theta ''&{}-{}&\theta ')&\,u{}-{}&x'&{}+{}&x'',\\0&{}={}a''&{}-{}&a'''&{}+{}&(\theta '''&{}-{}&\theta '')&\,u{}-{}&x''&{}+{}&x''',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

soient satisfaites aussi exactement que possible, car les imperfections inévitables du chronomètre ne permettront jamais de satisfaire rigoureusement à toutes. Mais on ne doit pas accorder à ces équations des poids égaux ; car les quantités

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}&a&{}-{}&a'&{}+{}&(\theta '&{}-{}&\theta )&\,u{}-{}&x&{}+{}&x',\\&a'&{}-{}&a''&{}+{}&(\theta ''&{}-{}&\theta ')&\,u{}-{}&x'&{}+{}&x'',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$