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séries distinctes, s’il arrive qu’en plaçant par ordre de grandeur toutes les valeurs possibles des erreurs discontinues, la différence entre deux termes consécutifs de la série soit moindre que la différence entre les limites extrêmes des erreurs soumises à la loi de continuité. Dans la pratique, un pareil cas ne se présentera presque jamais ; il supposerait des défauts trop grossiers dans la construction de l’instrument.

4.

Désignons par la notation $\varphi (x)$ la facilité relative d’une erreur $x$ : on doit entendre par là, à cause de la continuité des erreurs, que $\varphi (x)\,\mathrm {d} x$ est la probabilité que l’erreur soit comprise entre les limites $x$ et $x+\mathrm {d} x$. Il n’est pas possible, en général, d’assigner la forme de la fonction $\varphi$, et l’on peut même affirmer que cette fonction ne sera jamais connue dans la pratique. On peut néanmoins établir plusieurs caractères généraux qu’elle doit nécessairement présenter : $\varphi (x)$ est évidemment une fonction discontinue ; elle s’annule pour toutes les valeurs de $x$ non comprises entre les erreurs extrêmes. Pour toute valeur comprise entre ces limites, la fonction est positive (en excluant le cas indiqué à la fin du paragraphe précédent) ; dans la plupart des cas, les erreurs égales et de signes contraires seront également probables, et l’on aura :

$\varphi (x)=\varphi (-x)$

Enfin, comme les petites erreurs sont plus facilement commises que les grandes, $\varphi (x)$ sera en général maximum pour $x=0$ et diminuera sans cesse lorsque $x$ croîtra.

L’intégrale

$\int _{a}^{b}\varphi (x)\,\mathrm {d} x$

exprime la probabilité pour que l’erreur, encore inconnue, tombe entre les limites $a$ et $b$. On en conclut que la valeur de cette intégrale prise entre les limites extrêmes des erreurs possibles sera toujours égale à l’unité. Et comme $\varphi (x)$ est