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la somme
![{\displaystyle x^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88c6c63b48b44fb83b197d0052db85f8064637)
sera
![{\displaystyle m^{2}+{m'}^{2}+{m''}^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e6fa8557fb32175eddf02a2103aae2ea7e7cdb)
.
Or, si l’on sait, par ailleurs, que les quantités
,
,
, etc., sont respectivement proportionnelles aux nombres,
,
,
, etc., la valeur moyenne de l’expression
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots }{1+{\mu '}^{2}+{\mu ''}^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41c2f587a9034bc74c275ed1b483b24b7d436fc)
sera égale à
. Mais si nous adoptons pour
la valeur que prendra cette expression, en y substituant les erreurs
,
,
, etc., telles que le hasard les offrira, l’erreur moyenne qui affecte cette détermination sera, d’après l’article précédent,
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {n^{4}+{n'}^{4}+{n''}^{4}+\ldots -m^{4}-{m'}^{4}-{m''}^{4}-\ldots }}{1+{\mu '}^{2}+{\mu ''}^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79911f8896345244669ab0d612f3ed023e58fdc1)
où
,
, etc., ont la même signification, par rapport à la seconde et à la troisième observation, que
par rapport à la première ; et si l’on peut supposer les nombres
,
,
, etc.,
proportionnels à
,
,
, etc., cette erreur moyenne à craindre sera égale à
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {(n^{4}-m^{4})(1+{\mu '}^{4}+{\mu ''}^{4}+\ldots )}}{1+{\mu '}^{2}+{\mu ''}^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f3f359cd761f70d28fd46ad932f1c16def9e07)
;
mais cette manière de déterminer une valeur approchée de
n’est pas la plus avantageuse.
Considérons l’expression plus générale
![{\displaystyle y={\frac {x^{2}+\alpha '{x'}^{2}+\alpha ''{x''}^{2}+\ldots }{1+\alpha '{\mu '}^{2}+\alpha ''{\mu ''}^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bad3e4c3f994bbdc6d8ea851ad1994c49080b9)
,
dont la valeur moyenne sera aussi
, quels que soient les coefficients
,
, etc. L’erreur moyenne à craindre lorsqu’on substitue la valeur
à une valeur de
, déterminée d’après les erreurs fortuites
,
,
, etc., sera, d’après