Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/43

Cette page a été validée par deux contributeurs.

( 29 )

elles, ou davantage, puissent être regardées comme des fonctions des autres, le problème est plus que déterminé relativement à ces dernières fonctions et indéterminé relativement aux inconnues $x$ , $y$ , $z$ , etc. ; et l’on ne pourrait même pas déterminer ces dernières inconnues, quand bien même les fonctions $\mathrm {V}$ , $\mathrm {V} '$ , $\mathrm {V} ''$ , etc., seraient exactement connues : mais nous excluons ce cas de nos recherches.

Si $\mathrm {V}$ , $\mathrm {V} '$ , $\mathrm {V} ''$ , etc., ne sont pas des fonctions linéaires des inconnues, on pourra toujours leur attribuer cette forme, en remplaçant les inconnues primitives par leur différence avec leurs valeurs approchées, que l’on suppose connues ; les erreurs moyennes à craindre dans les déterminations

{\begin{aligned}\mathrm {V} &=\mathrm {L} ,&\mathrm {V} '&=\mathrm {L} ',&\mathrm {V} ''&=\mathrm {L} '',\ldots \end{aligned}}

étant désignées respectivement par $m$ , $m'$ , $m''$ , etc., et les poids de ces déterminations, par $p$ , $p'$ , $p''$ , etc., de telle sorte que

pm^{2}=p'{m'}^{2}=p''{m''}^{2}=\ldots .

Nous supposerons connus les rapports des erreurs moyennes ainsi que les poids, dont l’un sera pris arbitrairement. Si nous posons enfin

{\begin{aligned}\left(\mathrm {V} -\mathrm {L} \right){\sqrt {p^{\begin{array}{l}\\\end{array}}}}&=v,&\left(\mathrm {V} '-\mathrm {L} '\right){\sqrt {p'}}&=v',\ldots ,\end{aligned}}

les choses se passeront ensuite comme si des observations immédiates, également précises et dont l’erreur moyenne aurait pour valeur $m{\sqrt {p}}$ , avaient donné

{\begin{aligned}v&=0,&v'&=0,&v''&=0,\ldots .\end{aligned}}

20.

PROBLÈME.

Désignons par $v$ , $v'$ , $v''$ , etc., les fonctions linéaires suivantes des indéterminées $x$ , $y$ , $z$ , etc.,

(1)

\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}&v&{}={}&ax&{}+{}&by&{}+{}&cz&{}+{}&\ldots &{}+{}&l,\\&v'&{}={}&a'x&{}+{}&b'y&{}+{}&c'z&{}+{}&\ldots &{}+{}&l',\\&v''&{}={}&a''x&{}+{}&b''y&{}+{}&c''z&{}+{}&\ldots &{}+{}&l'',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}\right.