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le poids de cette détermination sera

${\frac {1}{(\alpha \alpha )}},$

et l’erreur moyenne à craindre

$m{\sqrt {p^{\stackrel {}{}}}}\,(\alpha \alpha )=m'{\sqrt {p'}}\,(\alpha \alpha )=m''{\sqrt {p''}}\,(\alpha \alpha )=\ldots .$

Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convenables des autres inconnues $y$, $z$, etc., qui seront celles que l’on obtiendrait en effectuant l’élimination sur les équations

${\begin{aligned}\xi &=0,&\eta &=0,&\zeta &=0,\ldots .\end{aligned}}$

Si nous désignons par $\Omega$ la somme

$v^{2}+{v'}^{2}+{v''}^{2}+\ldots ,$

ou, ce qui revient au même,

$p\,\left(\mathrm {V-L} \right)^{2}+p'\,\left(\mathrm {V'-L'} \right)^{2}+p''\,\left(\mathrm {V''-L''} \right)^{2}+\ldots ,$

on aura évidemment

${\begin{aligned}2\,\xi &={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} x}},&2\,\eta &={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} y}},&2\,\zeta &={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} z}},\ldots \end{aligned}};$

par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à $\Omega$ une valeur minimum. Or $\mathrm {V-L}$ représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée ; donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et observées des quantités $\mathrm {V}$, $\mathrm {V} '$, $\mathrm {V} ''$, etc., ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. J’avais établi depuis longtemps ce principe par d’autres considérations (Theoria Motus Corporum cœlestium).

Si l’on veut assigner la précision relative de chacune des déterminations, il faut déduire des équations (3), les valeurs