( 54 )
Soit enfin,
![{\displaystyle v^{\ast }=fx+gy+hz+\ldots +k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7ce83284bbe23d44310070b343d962bc4bf9c5)
qui deviendra, en ayant égard aux équations (1),
![{\displaystyle v^{\ast }=\mathrm {F} \,\xi +\mathrm {G} \,\eta +\mathrm {H} \,\zeta +\ldots +\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cbe7b1745a1bf31feebd26332ba466ee556c74)
et posons
![{\displaystyle \mathrm {F} \,f+\mathrm {G} \,g+\mathrm {H} \,h+\ldots =\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199732739f70ffdb3066df1575cfd8dede1700e1)
sera évidemment la valeur la plus plausible de la fonction
, telle qu’elle résulte des équations primitives, sans avoir égard à la valeur 0 fournie par la nouvelle observation, et
sera le poids de cette détermination.
Or nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{\ast }&=\xi +fv^{\ast },&\eta ^{\ast }&=\eta +gv^{\ast },&\zeta ^{\ast }&=\zeta +hv^{\ast },\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26b5be42509ed60d2bb3b944541b8535a92a91d)
et, par suite,
![{\displaystyle \mathrm {F} \,\xi ^{\ast }+\mathrm {G} \,\eta ^{\ast }+\mathrm {H} \,\zeta ^{\ast }+\ldots +\mathrm {K} =v\ast (1+\mathrm {F} \,f+\mathrm {G} \,g+\mathrm {H} \,h+\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca52b0f6a56bdf466c85a501680c1d901535cca)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle v^{\ast }={\frac {\mathrm {F} \,\xi ^{\ast }+\mathrm {G} \,\eta ^{\ast }+\mathrm {H} \,\zeta ^{\ast }+\ldots +\mathrm {K} }{1+\omega }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4793b5e3d841e1a5c1ce5b4217c1277433333bf0)
On a, en outre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta )\,\eta ^{\ast }+(\alpha \gamma )\,\zeta ^{\ast }+\ldots \\&\qquad \qquad {}-{}v^{\ast }{\big [}f\,(\alpha \alpha )+g\,(\alpha \beta )+h\,(\alpha \gamma )+\ldots {\big ]}\\[0.75ex]&=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta )\,\eta ^{\ast }+\ldots -\mathrm {F} \,v^{\ast }\\&=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta )\,\eta ^{\ast }+\ldots -{\frac {\mathrm {F} }{1\!+\!\omega }}(\mathrm {F} \xi ^{\ast }+\mathrm {G} \eta ^{\ast }+\mathrm {H} \zeta ^{\ast }+\ldots \mathrm {K} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12948780971812c908d9e2ec4c042d51ab9c2cb)
Nous déduirons de là,
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{\ast }=\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {FK} }{1+\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2751496e3c1a8bd343f1f65e74293d93e056aedd)
qui sera la valeur la plus plausible de
, déduites de toutes les observations.