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Il n’est pas possible de calculer
,
,
, etc., par le moyen des formules (4), car les erreurs
,
,
, etc., qui y figurent, ont des valeurs inconnues, mais on voit facilement que ces quantités
,
,
, etc., ne sont autre chose que les valeurs
de
,
,
, etc., qui correspondent aux valeurs observées de
,
,
, etc., et alors le système des équations (1), (3), (5), forme la solution complète de notre problème. Il est clair, en effet, que l’on peut appliquer au calcul de
,
,
,
,
,
,
, etc., la remarque faite à la fin de l’article 2, à l’occasion des quantités
,
,
, etc., c’est-à-dire remplacer les valeurs véritables de
,
,
, etc., par les valeurs observées.
7.
On peut substituer à la formule (3), qui représente le poids de la détermination la plus probable, plusieurs expressions qu’il est utile d’indiquer ; remarquons, d’abord, qu’en ajoutant les équations (2) après les avoir multipliées par
,
,
, etc., on aura
![{\displaystyle (aa)\,x^{0}+(ab)\,y^{0}+(ac)\,z^{0}+\ldots ={\frac {a\,\mathrm {L} }{p}}+{\frac {a'\mathrm {L} '}{p'}}+{\frac {a''\mathrm {L} ''}{p''}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5dcac0d2ae7c8ec4fa51dffc627cfae0285b21)
Le premier membre est nul ; en désignant donc, d’après la notation adoptée, le second membre par
, on aura
![{\displaystyle (a\,\mathrm {L} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4ede3559a8a340e6d0cf8c181315253e9ce3c3)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}(b\,\mathrm {L} )&=0,&(c\,\mathrm {L} )&=0,\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98959b79904d495e5dcd36e7bf962e8ea801726f)
Multiplions ensuite les équations (2) par
,
,
, etc. ; nous aurons, en les ajoutant,
![{\displaystyle {\frac {l\,\mathrm {L} }{p}}+{\frac {l'\mathrm {L} '}{p'}}+{\frac {l''\mathrm {L} ''}{p''}}+\ldots ={\frac {\mathrm {L} ^{2}}{p}}+{\frac {\mathrm {L'} ^{2}}{p'}}+{\frac {\mathrm {L''} ^{2}}{p''}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0f506f74bb2d60660e2e1b301fac76b1b3f7c8)
et, par suite, nous avons cette seconde expression du poids,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1}{{\dfrac {l\,\mathrm {L} }{p}}+{\dfrac {l'\mathrm {L} '}{p'}}+{\dfrac {l''\mathrm {L} ''}{p''}}+\ldots }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f851dc3ed5c4a621a5f45ccb43105adc1e302ef)