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Il n’est pas possible de calculer ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$, ${\mathcal {C}}$, etc., par le moyen des formules (4), car les erreurs $e$, $e'$, $e''$, etc., qui y figurent, ont des valeurs inconnues, mais on voit facilement que ces quantités ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$, ${\mathcal {C}}$, etc., ne sont autre chose que les valeurs de $\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$, etc., qui correspondent aux valeurs observées de $v$, $v'$, $v''$, etc., et alors le système des équations (1), (3), (5), forme la solution complète de notre problème. Il est clair, en effet, que l’on peut appliquer au calcul de $a$, $a'$, $a''$, $\ldots$, $b$, $b'$, $b''$, etc., la remarque faite à la fin de l’article 2, à l’occasion des quantités $l$, $l'$, $l''$, etc., c’est-à-dire remplacer les valeurs véritables de $v$, $v'$, $v''$, etc., par les valeurs observées.

7.

On peut substituer à la formule (3), qui représente le poids de la détermination la plus probable, plusieurs expressions qu’il est utile d’indiquer ; remarquons, d’abord, qu’en ajoutant les équations (2) après les avoir multipliées par ${\frac {a}{p}}$, ${\frac {a'}{p'}}$, ${\frac {a''}{p''}}$, etc., on aura

$(aa)\,x^{0}+(ab)\,y^{0}+(ac)\,z^{0}+\ldots ={\frac {a\,\mathrm {L} }{p}}+{\frac {a'\mathrm {L} '}{p'}}+{\frac {a''\mathrm {L} ''}{p''}}+\ldots .$

Le premier membre est nul ; en désignant donc, d’après la notation adoptée, le second membre par $(a\,\mathrm {L} )$, on aura

$(a\,\mathrm {L} )=0,$

et de même

${\begin{aligned}(b\,\mathrm {L} )&=0,&(c\,\mathrm {L} )&=0,\ldots .\end{aligned}}$

Multiplions ensuite les équations (2) par ${\frac {\mathrm {L} }{p}}$, ${\frac {\mathrm {L} '}{p'}}$, ${\frac {\mathrm {L} ''}{p''}}$, etc. ; nous aurons, en les ajoutant,

${\frac {l\,\mathrm {L} }{p}}+{\frac {l'\mathrm {L} '}{p'}}+{\frac {l''\mathrm {L} ''}{p''}}+\ldots ={\frac {\mathrm {L} ^{2}}{p}}+{\frac {\mathrm {L'} ^{2}}{p'}}+{\frac {\mathrm {L''} ^{2}}{p''}}+\ldots ,$

et, par suite, nous avons cette seconde expression du poids,

$\mathrm {P} ={\frac {1}{{\dfrac {l\,\mathrm {L} }{p}}+{\dfrac {l'\mathrm {L} '}{p'}}+{\dfrac {l''\mathrm {L} ''}{p''}}+\ldots }}\cdot$