Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/93

( 79 )

Si, enfin, nous ajoutons les mêmes équations (2) après les avoir multipliées par ${\frac {l}{p}}$, ${\frac {l'}{p'}}$, ${\frac {l''}{p''}}$, etc., nous obtiendrons une troisième expression du poids,

$\mathrm {P} ={\frac {1}{(al)\,x^{0}+(bl)\,y^{0}+(cl)\,z^{0}+\ldots +(ll)}},$

où l’on a posé, conformément à la notation précédente,

${\frac {{l}^{2}}{p}}+{\frac {{l'}^{2}}{p'}}+{\frac {{l''}^{2}}{p''}}+\ldots =(ll).$

On passera facilement de là à la quatrième expression du poids,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {P} }}&=(ll)-(aa)\,{x^{0}}^{2}-(bb)\,{y^{0}}^{2}-(cc)\,{z^{0}}^{2}-\ldots \\&{}-{}2\,(ab)\,x^{0}y^{0}-2\,(ac)\,x^{0}z^{0}-2\,(bc)\,y^{0}z^{0}-\ldots .\end{aligned}}$

8.

La solution générale que nous venons d’exposer s’applique principalement au cas où l’on n’a qu’une seule inconnue à déterminer. Lorsqu’on cherche, au contraire, les valeurs les plus plausibles de plusieurs inconnues, dépendant des mêmes observations, ou lorsqu’on ignore quelles sont les inconnues qu’il faut, de préférence, déduire des observations, il convient de procéder d’une manière différente, dont nous allons actuellement nous occuper.

Considérons $x$, $y$, $z$, etc., comme des indéterminées, et posons

(6)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&(aa)\,&x{}+{}&(ab)\,&y{}+{}&(ac)\,&z+\ldots &{}={}\xi ,\\&(ab)\,&x{}+{}&(bb)\,&y{}+{}&(bc)\,&z+\ldots &{}={}\eta ,\\&(ac)\,&x{}+{}&(bc)\,&y{}+{}&(cc)\,&z+\ldots &{}={}\zeta ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}\right.$

Supposons que l’on en déduise, par l’élimination,

(7)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&(\alpha \alpha )\,&\xi {}+{}&(\alpha \beta )\,&\eta {}+{}&(\alpha \gamma )\,&\zeta +\ldots &{}={}x,\\&(\beta \alpha )\,&\xi {}+{}&(\beta \beta )\,&\eta {}+{}&(\beta \gamma )\,&\zeta +\ldots &{}={}y,\\&(\gamma \alpha )\,&\xi {}+{}&(\gamma \beta )\,&\eta {}+{}&(\gamma \gamma )\,&\zeta +\ldots &{}={}z,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$