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on en conclut évidemment,

(12)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&(aa)\,&\mathrm {A} {}+{}&(ab)\,&\mathrm {B} {}+{}&(ac)\,&\mathrm {C} +\ldots &{}={}{\mathcal {A}},\\&(ba)\,&\mathrm {A} {}+{}&(bb)\,&\mathrm {B} {}+{}&(bc)\,&\mathrm {C} +\ldots &{}={}{\mathcal {B}},\\&(ca)\,&\mathrm {A} {}+{}&(cb)\,&\mathrm {B} {}+{}&(cc)\,&\mathrm {C} +\ldots &{}={}{\mathcal {C}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}\right.$

En ajoutant les équations (10) après les avoir multipliées par ${\frac {a}{p}}$, ${\frac {a'}{p'}}$, ${\frac {a''}{p''}}$, etc., on obtient

(13)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}{\mathcal {A}}{}&={}a\,\varepsilon {}&+\;a'\varepsilon '{}&+{}&a''&\varepsilon ''+\ldots ,\\&\,\mathrm {et} \;\mathrm {de} &\mathrm {m{\hat {e}}me} &&&\\{\mathcal {B}}{}&={}b\,\varepsilon {}&+\;b'\varepsilon '{}&+{}&b''&\varepsilon ''+\ldots ,\\{\mathcal {C}}{}&={}c\,\varepsilon {}&+\;c'\varepsilon '{}&+{}&c''&\varepsilon ''+\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

${\mathcal {A}}$ étant, comme on l’a dit, la valeur que prend $\mathrm {X}$ lorsqu’on substitue à $v$, $v'$, $v''$, etc., leurs valeurs observées ; on aperçoit facilement que si l’on applique à chacune de ces quantités les corrections $-\varepsilon$, $-\varepsilon '$, $-\varepsilon ''$, etc., la valeur de $\mathrm {X}$ devient égale à zéro, et que de même $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$, etc., s’évanouissent par cette hypothèse. L’équation (11) prouve aussi que $\mathrm {K}$ est la valeur que prend $u$ par suite des mêmes substitutions.

En nommant compensation des observations, l’application des corrections $-\varepsilon$, $-\varepsilon '$, $-\varepsilon ''$, etc., aux grandeurs directement observées, nous sommes conduit à une conséquence très-importante :

Les observations compensées comme nous l’avons indiqué, satisfont exactement à toutes les équations de condition, et font prendre à toute fonction des quantités observées la valeur qui résulterait de la combinaison la plus convenable des observations non modifiées ; et puisque les équations de condition sont trop peu nombreuses pour qu’on puisse en déduire les valeurs exactes des erreurs, nous aurons au moins trouvé, par ce qui précède, les erreurs les plus plausibles. C’est sous ce nom que les quantités $\varepsilon$, $\varepsilon '$, $\varepsilon ''$, etc., seront désormais désignées.