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10.

Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition, outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un nombre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites.

Il importe d’examiner les relations qui lient entre eux ces divers systèmes. Soit $-\mathrm {E}$, $-\mathrm {E} '$, $-\mathrm {E} ''$, etc., un pareil système de corrections, autre que le système le plus plausible ; nous aurons

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&a\,&\mathrm {E} &{}+{}a'&\mathrm {E} '&{}+{}a''&\mathrm {E} ''+\ldots &{}={}{\mathcal {A}},\\&b\,&\mathrm {E} &{}+{}b'&\mathrm {E} '&{}+{}b''&\mathrm {E} ''+\ldots &{}={}{\mathcal {B}},\\&c\,&\mathrm {E} &{}+{}c'&\mathrm {E} '&{}+{}c''&\mathrm {E} ''+\ldots &{}={}{\mathcal {C}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

Multipliant ces équations par $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc., et ajoutant, il vient, en ayant égard aux équations (10),

$p\,\varepsilon \,\mathrm {E} +p'\varepsilon '\mathrm {E} '+p''\varepsilon ''\mathrm {E} ''+\ldots =\mathrm {A} \,{\mathcal {A}}+\mathrm {B} \,{\mathcal {B}}+\mathrm {C} \,{\mathcal {C}}+\ldots .$

Mais les équations (13) combinées de la même manière donnent

(14)

$p\,{\varepsilon }^{2}+p'{\varepsilon '}^{2}+p''{\varepsilon ''}^{2}+\ldots =\mathrm {A} \,{\mathcal {A}}+\mathrm {B} \,{\mathcal {B}}+\mathrm {C} \,{\mathcal {C}}+\ldots ;$

de la combinaison de ces résultats on déduit facilement

${\begin{aligned}p\,\mathrm {E} ^{2}&+p'\mathrm {E'} ^{2}+p''\mathrm {E''} ^{2}+\ldots =p\,{\varepsilon }^{2}+p'{\varepsilon '}^{2}+p''{\varepsilon ''}^{2}+\ldots \\&+p\,\left(\mathrm {E} -\varepsilon \right)^{2}+p'\left(\mathrm {E} '-\varepsilon '\right)^{2}+p''\left(\mathrm {E} ''-\varepsilon ''\right)^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

et, par suite, la somme

$p\,\mathrm {E} ^{2}+p'\mathrm {E'} ^{2}+p''\mathrm {E''} ^{2}+\ldots$

est, nécessairement, plus grande que

$p\,{\varepsilon }^{2}+p'{\varepsilon '}^{2}+p''{\varepsilon ''}^{2}+\ldots ,$

ce que l’on peut énoncer de la manière suivante :

Théorème. — Les carrés des corrections qui peuvent