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ARITHMÉTIQUES.

Nous observerons encore qu’on pourrait employer la méthode des n^os 109 et 115 ; mais pour abréger nous ne nous y arrêterons pas.

120. On déduit facilement de ce qui précède les théorèmes suivans (n^os 102, 103, 105) :

I. $-3$ est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par $8$, ni par $9$, ni par aucun nombre premier de la forme $6\mathrm {n} +5$, et non-résidu de tous les autres.

II. $+3$ est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par $4,$ ni par $9,$ ni par aucun nombre premier de la forme $12\mathrm {n} +5$ ou $12\mathrm {n} +7,$ et non-résidu de tous les autres.

On doit remarquer surtout ce cas particulier :

$-3$ est résidu de tous les nombres premiers de la forme $3n+1$, ou, ce qui est la même chose, de tous ceux qui sont résidus de $3$ ; et il est non-résidu de tous les nombres premiers de la forme $6n+5$, ou de tous ceux de la forme $3n+2$ ($2$ excepté), c’est-à-dire de tous ceux qui sont non-résidus de $3$, et l’on voit facilement que tous les autres cas suivent naturellement de celui-là.

Les propositions relatives aux résidus $+3$ et $-3$, étaient connues de Fermat (Opera Wallisii, T. II, p. 857) ; mais Euler est le premier qui les ait démontrées (Comment. nov. Petrop. T. VIII, p. 105), c’est pourquoi il est encore plus étonnant que la démonstration des propositions relatives aux résidus $+2$ et $-2$ aient toujours échappé à sa sagacité, puisqu’elles sont appuyées sur les mêmes principes. On peut voir aussi les Recherches de Lagrange (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin. 1775, p. 357).

121. L’induction fait voir que $+5$ n’est résidu d’aucun nombre impair de la forme $5n+2$, ou $5n+3$, c’est-à-dire d’aucun nombre impair qui soit non-résidu de $5$ lui-même. Or nous allons démontrer que cette règle ne souffre aucune exception. Soit, s’il est possible, $t$ le plus petit nombre à en excepter, $5$ sera résidu de $t$, et $t$ non-résidu de $5$. Soit $a^{2}=5+tu$, desorte que $a$ soit pair et $<t$ ; $u$ sera impair et $<t$, et $+5$ sera résidu de $u$. Si $a$ n’est pas divisible par $5$, $u$ ne le sera pas non plus ; mais il est évident que $tu$ est résidu de $5$ ; donc comme $t$ est non-résidu de $5$, $u$ le sera aussi, c’est-à-dire qu’il y a un nombre impair $<t$ qui est non-résidu de $5$ et dont $5$ est résidu ; mais si $a$ est