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RECHERCHES
d’où il suit que le déterminant de la forme 
est divisible par
celui de la forme 
et que le quotient est un quarré ; ainsi ces
déterminans seront de même signe. Si, de plus, la forme pouvait être changée en la forme 
par une transformation semblable,
c’est-à-dire, si était contenue sous et sous , les déterminans seraient égaux et 
. Dans ce cas, nous
les appellerons formes équivalentes. L’égalité des déterminans est
une condition nécessaire pour l’équivalence des formes, mais il
s’en faut bien qu’elle soit suffisante.
L’analyse précédente fait voir clairement que la même chose
aura lieu pour les formes dont le déterminant est 
; mais l’équation
ne peut pas s’étendre à ce cas-là.
Nous nommerons la substitution transformation propre, quand
, et transformation impropre, quand 
, et
la forme sera dite contenue proprement ou improprement dans
la forme selon que pourra être transformée en par une transformation propre ou impropre. Si donc et sont équivalentes, la
transformation sera propre ou impropre, suivant que 
.
Si plusieurs transformations sont toutes propres ou toutes impropres,
elles seront semblables ; mais une transformation propre et une transformation
impropre seront dissemblables.
158. Si les déterminans de deux formes 
et 
sont égaux, et que soit contenue sous 
sera aussi contenue sous et le sera proprement ou improprement, suivant que sera contenue sous proprement ou improprement.
Supposons que devienne en posant 
,
deviendra en posant 
,
. Car on déduira par là de le même résultat
qu’en substituant dans , à la place de 
et de 
, 
et 
, qui reviennent
à
et 
. Or ce résultat serait évidemment
, puisque par hypothèse . Or il
est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou impropre en même temps que la première.
Si est contenu proprement dans , et proprement dans ,
nous dirons que ces formes sont proprement équivalentes ; et si elles
